On considère un triplet pythagoricien (a, b, c), c’est-à-dire trois entiers a, b, c tels que c2=a2+b2 et C le cercle inscrit au triangle ABC rectangle en A où AB = b, AC = a et BC = c.
Le rayon du cercle inscrit C est alors donné par la relation
r = (b+a-c)/2
Remarque : Notons que puisque le triplet (a,b,c) est pythagoricien alors les parités des entiers a, b et c font que l’entier b+a-c est un entier pair.
Preuve : Notons O le centre et r le rayon du cercle C inscrit au triangle ABC rectangle en A. Les droites (AB), (AC) et (BC) sont tangentes au cercle C respectivement aux points K, I et J. On en déduit alors que
OI = OJ = OK.
Donc, OIAK étant un quadrilatère avec trois angles droits et deux côtés consécutifs de même longueur (OI = OK), on a
AI = r et BK = b-r.
D’autre part, puisque les triangles OKB et OJB sont rectangles, appliquer le théorème de Pythagore permet de montrer que BK = BJ, et donc que BJ = b-r. Le même raisonnement appliqué aux triangles OJC et OIC permet de déduire que JC = IC.
Donc
JC = c-JB = c-(b-r) et JC = IC = a-r.
Donc 2r = b+a-c est un entier pair, ce qui prouve l’assertion de départ.
Dans notre énigme r = 1 donc a, b et c vérifient le système d’équations
2 = b+a-c
c2 = a2+b2.
a = 1, a = 2 sont impossibles et donc a > 2.
On obtient
c = b+(a-2)
2(a-2)b + (a-2)2 = a2
donc
b = 1+a/(a-2).
Puisque a et b sont des entiers naturels alors les seules solutions sont
(a,b,c) = (3,4,5) ou (a,b,c) = (4,3,5).
En effet, b est entier donc 1+a/(a-2) = 2+2/(a-2) est entier d’où 2/(a-2) l’est et les seuls entiers divisant 2 sont 1 et 2.
L’opticien ne pourra alors proposer qu’un seul modèle de lunette…
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