Beaucoup de concepts mathématiques ne sont en réalité que le résultat de la formalisation, ou la clarification d’« objets » concrets ; par exemple, la notion de « distance ».
« Quelle est la distance de chez moi au travail », « combien de temps faut-il pour se rendre à tel endroit », … sont toutes des pensées qui communément, spontanément, viennent dans nos esprits.
Il y a plusieurs « types » de distances. Une distance à vol d’oiseau, par exemple, est différente de celle qu’on trouve en parcourant une route. En plus des distances physiques, il y a les distances temporelles et même là, la situation peut être de nature différente : combien de temps cela va-t-il prendre ? Vais-je y aller à pied, en voiture, en vélo, en bus ?
Chaque distance est relative à un problème, à une situation différente. C’est une caractéristique des mathématiques : découvrir que certaines quantités, que l’on introduit dans des contextes différents, en réalité sont des exemples d’un même concept abstrait. C’est de là qu’on déduit une définition, c’est-à-dire qu’on arrive à définir précisément le sens d’un certain mot.
On baptise alors « distance » un objet qui possède certaines propriétés, afin de rendre clair et non ambigu pour tous ce concept. Il s’agit de déterminer un vocabulaire commun pour tous les mathématiciens.
une propriété de minimisation
La propriété la plus importante de la distance est une propriété de « minimisation ». L’idée est que la distance est toujours celle qui correspond à la valeur minimale par rapport à de nombreuses stratégies possibles. Si, par exemple, on demande la distance entre Paris et Lyon, on se réfère à la route minimale qu’il faut parcourir ; on ne va pas chercher à passer par Bordeaux ou Rennes, on cherche l’itinéraire le plus direct. La formalisation de cette propriété de minimisation est donnée par la fameuse inégalité triangulaire : la distance de Paris à Lyon est plus petite que (ou au plus égale à) celle de Paris à une troisième localité, plus celle de cet endroit à Lyon. Passer vers un troisième endroit ne peut pas raccourcir le chemin (au mieux la longueur est la même).
En général, on considère deux autres propriétés pour une distance. L’une de ces propriétés est que des points différents se trouvent toujours à une distance strictement positive (en d’autres termes, on interdit le don d’ubiquité ou la possibilité de téléportation). L’autre est celle de symétrie : pour aller de Paris à Lyon on doit faire les mêmes kilomètres que pour aller de Lyon à Paris. Mais il y a des cas, dans la vie réelle, où la symétrie n’est pas vérifiée. Prenons le cas des rues à sens unique : parfois aller d’un endroit à un autre en voiture peut être beaucoup plus court que le voyage de retour…
Quel est l’avantage d’introduire le nom de distance ?
Enfin, on se demande : quel est l’avantage d’introduire le nom de distance ? Essentiellement, c’est de voir sous un même point de vue des problèmes différents. Objets et quantités introduits dans un cas peuvent en effet être transportés à l’autre et cela peut être extrêmement rentable. Donc on espère (et cela arrive souvent) résoudre deux problèmes pour le prix d’un. Simple question de commodité…
Traduit à partir de la version originale en italien de Corrado Mascia avec l’autorisation de l’auteur.
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