Des élevages de lapins… aux comptes bancaires : l’exponentielle ne concerne pas seulement les célèbres « croissances », mais elle nous réserve bien d’autres applications et d’autres surprises…
Généralement l’exponentielle (et sa réciproque : le logarithme) est considérée comme un objet « difficile », à éviter si possible. Sauf quand on parle de « croissance exponentielle ». Partons de ce point.
Imaginons que l’on veuille contrôler la croissance d’une population, par exemple, de lapins. Nous voulons savoir, année par année (ou mois par mois), combien de lapins nous avons, mais ce qui nous intéresse le plus est de savoir la variation du nombre de lapins d’une année à la suivante (donc la différence du nombre de lapins entre 2009 et 2010, par exemple).
Un modèle prédictif qui nous donne combien de lapins nous avons doit indiquer combien vaut cette augmentation. Un premier modèle très simple pourrait, par exemple, affirmer que la variation est constante : chaque année nous produisons 10 lapins de plus. La croissance, alors, sera facilement calculable : 10 lapins par année, donc la deuxième année nous aurons 10 lapins de plus que ceux que nous avions initialement, la troisième année 20 lapins de plus, et ainsi de suite. La croissance est donc linéaire (sur un graphe année/nombre de lapins) et le graphique qui représente cette situation est une droite.
Néanmoins, ce modèle n’est pas si convaincant, parce qu’en réalité plus il y a de lapins, plus il en naît. Donc si 10 est le nombre de lapins produits par un couple de lapins chaque année, chaque année nous aurons une augmentation de 10 lapins multiplié par le nombre de couples. Ainsi, plus nous avons de couples, plus notre production annuelle augmente ! Le cadre déterminé par ce nouveau modèle est justement celui d’une croissance exponentielle, donc quelque chose du type 10 puissance n : 10 fois 10 fois 10 fois 10…, et ceci, autant de fois qu’il y a d’années passées.
Nous trouvons le même type de mécanisme pour les comptes bancaires. Tous les ans la banque donne un « bonus », lié au fait que nous y avons déposé notre argent, et qui est proportionnel au dépôt. Ce qui est indiqué n’est pas la variation absolue du compte en un an, mais le « taux d’intérêt », c’est à dire le rapport entre la variation absolue et la valeur du dépôt. Ce système correspond exactement au modèle de croissance exponentielle de lapins. On se demande donc pourquoi nous ne voyons pas une énorme augmentation de notre compte bancaire… La réponse peut s’obtenir en raisonnant comme pour les lapins : 1 fois 1 fois 1 fois 1… et ce, autant de fois qu’il y a d’années passées, donne toujours 1. Donc à la fin, nous obtenons toujours le dépôt initial ! En réalité, dans le calcul il faut remplacer 1 par un nombre légèrement plus grand, mais essentiellement ceci ne change pas grand chose (la croissance n’est pas aussi rapide que nous le voudrions !)…
En mathématiques, pour des raisons trop longues à expliquer en quelques mots, on s’intéresse particulièrement à l’exponentielle qui a pour base le nombre de Néper, qui est noté « e ». Il nous intéresse, par exemple, de savoir combien vaut e fois e fois e fois e… Il s’agit d’un nombre qui intervient dans plusieurs situations et qui donc a une forte popularité dans la communauté. Le nombre e, comme π (pi grec), est un nombre irrationnel, c’est-à-dire que ses décimales n’ont aucune forme de périodicité.
Ce qu’une exponentielle fait, le logarithme le défait
Parlons, pour conclure, d’un autre point douloureux : le logarithme. D’où sort-il ? Si nous savons additionner, très vite nous aurons aussi envie de soustraire. Et si nous savons multiplier, de diviser. La soustraction et la division sont les opérations réciproques de l’addition et de la multiplication. En pratique, si additionner et multiplier nous donnent une certaine valeur, pour revenir aux valeurs initiales il faut soustraire et diviser. De la même façon, le logarithme est l’opération réciproque de l’exponentielle, et donc pour résoudre des problèmes avec des exponentielles son utilisation est indispensable. Ce qu’une exponentielle fait, le logarithme le défait. Pratique, non ?
Traduit à partir de la version originale en italien de Corrado Mascia avec l’autorisation de l’auteur.
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