Combien de fois partageant une pizza avec un ami, nous avons eu le sentiment d’en avoir mangé moins que l’autre, ou pire… nous avons été accusés d’en avoir mangé plus ? À partir d’aujourd’hui, vous n’avez plus à vous inquiéter : les recherches d’un étudiant américain mettent un terme à ce dilemme insoutenable, montrant lequel des deux est le plus gros « mangeur » du moment !
Les recherches ont été menées par Keyue Gao, un étudiant du département de mathématiques de l’Université de New York, dans le cadre du projet SURE. Le SURE, ou Summer Undergraduate Research Experience programme, est un programme qui permet à nombreux étudiants de faire des courtes expériences de recherche à l’Université de New York pendant l’été.
Keyue Gao, grâce à ce projet, a eu l’occasion de connaître le monde de la recherche mathématique, et a été en mesure de se confronter à la résolution d’un problème, sous la direction d’un chercheur confirmé.
Le problème étudié par Gao avait déjà été examiné par d’autres étudiants avant lui. C’est précisément le problème séculaire de la répartition de la pizza entre deux personnes : qui va manger le plus ?
Dans l’article publié sur arXiv.org, Gao examine le problème en considérant les deux mangeurs de pizza comme deux joueurs qui veulent s’approprier le plus de morceaux de pizza, préalablement divisée en morceaux qui ne sont pas égaux entre eux. Les autres règles du jeu sont très simples : on ne peut prendre un morceau de pizza que lorsque le précédent a été complètement consommé une fois que le premier morceau a été pris, on continue en prenant uniquement les parties qui lui sont adjacentes. La dernière hypothèse, malheureusement pas très réaliste, est que les deux joueurs mangent à la même vitesse.
Qui va manger le plus ?
L’étude montre que, dans ces conditions, le joueur qui prend le premier morceau peut toujours manger au moins 2/5 de la pizza. Le problème initial, proposé par Peter Winkler, prévoyait que les deux joueurs pouvaient prendre les morceaux de pizza alternativement, en choisissant toujours l’un de ceux adjacents aux morceaux déjà pris. Dans ce cas, si le nombre de morceaux est pair, le premier joueur mange plus de la moitié de la pizza. Si le nombre de morceaux est impair, la situation se complique considérablement. En fait, dans ce cas, il y a des situations dans lesquelles la première personne, même en commençant par la plus grosse part, ne peut pas manger plus de 4/9 de la pizza.
En revanche, dans l’étude menée par Gao, on supprime l’alternance entre les deux joueurs, c’est-à-dire qu’ils peuvent prendre un morceau de pizza dès qu’ils ont fini de manger le précédent. Évidemment, en mangeant à la même vitesse, le temps qu’ils prennent pour finir un morceau est proportionnel à sa taille !
Il vaut mieux laisser choisir le premier morceau !
En conclusion, Gao montre que si la pizza est divisée en quelques morceaux (3 ou 4) la première personne peut très facilement manger plus de la moitié de la pizza. Jusqu’à présent, l’intuition de chacun de nous aurait conduit à la même réponse. Un fait moins évident que démontre l’étudiant est que si le nombre de parts est plus élevé, la première personne est sûre de pouvoir toujours manger au moins 2/5 de la pizza, mais aussi en améliorant au maximum sa performance, elle pourrait ne jamais arriver à manger la moitié de la pizza.
Gao, cependant, n’a pas réussi à montrer ce qui est en réalité la fraction maximale de pizza que la première personne peut réussir à manger. Pour cette raison, nous devons attendre au moins l’automne prochain. En attendant, si pendant un dîner nous partageons une pizza avec un ami, il vaut mieux lui laisser choisir le premier morceau !
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