Voici un tour de magie amusant qui vous permettra de surprendre vos amis. Son secret réside dans les propriétés de la suite de Fibonacci. Les deux premiers termes de cette suite sont égaux à 1, puis on obtient chacun des termes suivants en additionnant les deux termes qui le précèdent. On trouve ainsi que le troisième terme vaut 1 + 1 = 2, que le quatrième terme vaut 1 + 2 = 3, et ainsi de suite, ce qui donne :
Comment procéder ?
Il vous faut de quoi écrire, une feuille comportant dix lignes vides (numérotées verticalement de 1 à 10) et une enveloppe contenant un papier sur lequel est inscrit 1,61 (la réponse à l’une des questions que vous poserez par la suite). Donnez à votre ami la feuille et le stylo, puis demandez-lui de choisir deux nombres entre 1 et 20 et de les inscrire sur les deux premières lignes. Il devra ensuite compléter chacune des lignes suivantes en y indiquant la somme des deux lignes qui la précèdent. Cela signifie qu’il doit mettre sur la troisième ligne la somme des nombres figurant sur les lignes 1 et 2, sur la quatrième ligne la somme des nombres inscrits sur les lignes 2 et 3, et ainsi de suite jusqu’à avoir rempli la dixième ligne (somme des nombres figurant sur les lignes 8 et 9).
Imaginons par exemple que votre ami choisisse les nombres 7 et 3. Il remplirait ensuite la feuille de la manière suivante :
1) 7
2) 3
3) 10
4) 13
5) 23
6) 36
7) 59
8) 95
9) 154
10) 249
Cette méthode de remplissage (qui s’inspire de la construction de la suite de Fibonacci) n’est pas anodine. En effet, elle a des propriétés particulières très utiles pour réaliser ce tour de magie :
• la somme des dix lignes est égale au nombre inscrit sur la ligne n°7 multiplié par 11.
• le quotient de la ligne n°10 par la ligne n°9 (tronqué à la deuxième décimale) vaut 1,61.
Une fois la feuille remplie, demandez tout d’abord à votre ami de calculer la somme de toutes les lignes. Vous pourrez le surprendre en lui donnant très rapidement la réponse, puisque, comme nous venons de le voir, il vous suffit de multiplier le nombre inscrit sur la ligne n°7, que vous pouvez lire directement sur la feuille, par 11 (ce qui peut facilement être fait de tête). Dans notre exemple, la somme de toutes les lignes (7 + 3 +…+ 249 = 649) s’obtient facilement en multipliant 59 par 11.
Annoncez ensuite à votre ami que vous aviez prédit la valeur du quotient de la ligne n°10 par la ligne n°9 avant le début du tour de magie (et donc avant qu’il ne choisisse les deux premiers nombres). Demandez-lui de calculer ce quotient et comparez-le à votre prédiction (qui n’en n’était pas vraiment une grâce à la deuxième propriété évoquée plus haut) se trouvant dans l’enveloppe. Il devrait être étonné de constater que votre prédiction était la bonne (du moins en tronquant à la deuxième décimale). Dans notre exemple, on a 249/154≈1,616883, ce qui correspond bien au papier contenu dans l’enveloppe.
Pour expliquer le pourquoi du comment, nous vous proposons ici une démonstration mathématique de ce tour.
Traduit à partir de la version originale « Leapfrog Addition » en anglais de Francis Su avec l’autorisation de l’auteur.
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