Notons L = QR, θ l’angle issu de R et γ l’angle issu de Q.

Soit I le point d’intersection de la hauteur issue de P dans le triangle PQR. On a alors

tan γ = IP / IQ et tan θ = IP / IR, (1)

soit

IQ tan γ = IR tan θ.

Or,

L = IQ + IR,

donc

IR (tan θ + tan γ) = L tan γ, (2)

soit donc, d’après (1) et (2)

IP = L tan γ tan θ / (tan θ + tan γ).

On trouve

θ = 26° et γ = 32°, d’où IP ≈ 42,35 mètres.

Énoncé de l’énigme.

Énigme et solution proposées par Philippe Grillot (université d’Orléans).

Certains événements d’actualité ont mis en évidence la nécessité de comprendre la dynamique des émeutes. Par exemple, aux États-Unis, l’homicide de Michael Brown en août dernier à Ferguson dans le Missouri commis par un policier, et la décision du grand jury de ne pas inculper l’agent de police, ont donné lieu à des semaines de protestations. Une vague de protestations similaires a eu lieu à New York, après la décision des juges de ne pas entreprendre d’action judiciaire contre le policier impliqué dans l’étranglement d’Eric Garner.

En considérant l’intérêt de l’opinion publique pour ces cas, le risque d’augmentation et de propagation de l’agitation sociale devient de plus en plus concret. En effet les protestations peuvent être considérées comme des sortes d’« explosions » d’activités sociales, induites par un événement déclencheur, et qui augmentent pour une certaine période de temps grâce à un mécanisme d’auto-renforcement ou à d’autres chocs externes. Il est donc important comprendre quand ces explosions se produisent et comment elles se propagent.

L’idée proposée dans l’article est de décrire le phénomène au niveau macroscopique, en utilisant des modèles continus d’équations aux dérivées partielles et en considérant le couplage d’une variable explicite, qui représente l’intensité de l’agitation, et d’une variable implicite, qui décrit la tension sociale. Le système comprend également les effets de facteurs exogènes et endogènes, ainsi que les mécanismes de propagation.

Compte tenu de la complexité de ces problèmes, il n’est pas possible de comprendre les origines économiques, sociales ou politiques des révoltes, et encore moins, d’en contester la légitimité. Cependant, grâce à cette approche mathématique, il est possible de déterminer leur comportement qualitatif. Par exemple, nous pouvons comprendre l’influence de la limitation d’informations et des réseaux de communication sur la diffusion et la durée d’une potentielle protestation. Il a été montré en effet que la limitation d’informations entrave les émeutes, tandis qu’un plus grand accès aux médias sociaux et à la technologie a l’effet inverse.

Le modèle proposé est capable de capturer les ondes de « perturbation », c’est-à-dire un trouble des protestations qui se propage dans l’espace. De plus, grâce au type d’équations utilisées il est possible de quantifier la vitesse à laquelle ces ondes se propagent.

Pouvez-vous aider l’opticien de Jean à concevoir ses montures en lui donnant les côtés du triangle ? Pourra-t-il lui proposer plusieurs modèles triangulaires ?

Énigme proposée par Philippe Grillot (université d’Orléans).

L’équipe du site Skyscanner, un des leaders mondiaux dans la recherche (et la comparaison) de billets d’avion sur internet, s’est intéressée à cette question et vient de mettre au point une formule mathématique visant à attribuer une note sur 20 à chaque offre de vol. Il est alors possible de recommander aux voyageurs l’offre idéale de vol suivant ce critère (celle qui obtient la note maximale).

Une enquête a tout d’abord été menée auprès de 2000 voyageurs pour bien cerner leurs attentes. Il en ressort que les principaux critères pris en compte lors de la réservation d’un billet d’avion sont le fait que le vol soit direct (pour 66 % des sondés), les horaires de décollage et d’atterrissage (45 %) et la ponctualité (38 %). D’autre part, d’autres qualités sont à prendre en compte pour rendre le vol plus agréable : des sièges spacieux (61 %), la qualité de ce qui est proposé à manger et à boire (48 %), pas de turbulences (44 %), un siège libre à côté du sien (33 %), un prix pas trop élevé (30 %), une belle vue (24 %).

En dehors, du caractère direct du vol, la firme choisit de prendre en compte l’horaire du vol, la place pour les jambes et la ponctualité (critères ayant un fort impact sur la satisfaction des voyageurs) puis sollicite Eugena Cheng (professeure de mathématiques à l’université de Sheffield en Grande-Bretagne) pour élaborer, à partir de ces variables, une formule mathématique modélisant la satisfaction des voyageurs.

C’est ainsi qu’est proposée la définition suivante de la note de satisfaction associée à un vol :

Note(vol) = ( T + L – 30 ) x P

où :

• T = 10 (matinée), 5 (nuit), ou 3 (après-midi) représente l’impact de l’horaire du vol – ce score est proportionnel aux souhaits des voyageurs : matinée (52%), nuit (27%), et après-midi (21%)
• 28 ≤ L ≤ 40, correspond à la place pour les jambes (en pouces) – les valeurs supérieures à 40 sont ramenées à 40 (source www.airlinequality.com)
• 0 ≤ P ≤ 1, représente le pourcentage de vols qui respectent les horaires indiqués (source flightstats.com)

On remarquera que la note ainsi obtenue prend des valeurs entre 0 et 20 (limitée à 15 en classe économique car L ≤ 35 dans ce cas) prenant en compte les facteurs clés impactant la satisfaction des voyageurs. Une première approche pour nous aider trouver plus rapidement le vol de nos rêves…

Le Centre Galois est né en 2011, l’année du bicentenaire de la naissance d’Évariste Galois.

Évariste Galois, c’est presque un personnage de fiction ! Mort en duel à l’âge de 20 ans, il laisse dans les mathématiques une empreinte indélébile par la profondeur des idées qu’il a introduites. En une phrase, il nous dit : « Sauter à pieds joints sur les calculs, grouper les opérations, les classer suivant leurs difficultés et non suivant leur forme, telle est selon moi la mission des géomètres futurs ».
Galois est né en 1811 à Bourg-la-Reine et ses premiers travaux ont été présentés à l’Académie des sciences par Cauchy en 1829. Entretemps, Galois a passé une enfance heureuse dans sa famille, avant de devenir pensionnaire au lycée Louis-le-Grand. Ses échecs au concours d’entrée à l’École polytechnique et la mort tragique de son père vont profondément le marquer. Quant à ses travaux, ils sont difficiles à comprendre même pour les plus brillants esprits de l’époque. Il faudra des années après sa mort et les efforts de mathématiciens comme Liouville puis Jordan pour qu’on comprenne toute l’originalité du jeune homme. Républicain passionné, Galois meurt dans un duel en 1832, duel dont les raisons ne sont toujours pas complètement élucidées, non sans avoir pris soin la veille de coucher sur le papier ses dernières réflexions mathématiques. Oui, Galois c’est quasiment un personnage de fiction !

Le Centre Galois lève les rangs des mathématiciens de demain.

Le Centre Galois a pour premier objectif de faire aimer les mathématiques et d’attirer des jeunes, collégiens ou lycéens, vers les carrières scientifiques. Sont visés en priorité celles et ceux qui, tout en réussissant très bien en classe, ont du mal à se projeter dans des études scientifiques longues parce qu’ils ne bénéficient pas d’un environnement familial favorable. Nombre d’études montrent que les élites françaises tendent à se reproduire et que l’ascenseur social fonctionne mal. Le Centre Galois répond alors à une double exigence de justice sociale et de renouvellement du vivier des mathématiciens, ou plus généralement des scientifiques.

Les activités proposées, tout en tenant compte du niveau mathématique des stagiaires, s’éloigneront des programmes scolaires pour faire appel à l’intuition et l’imagination, en essayant d’exciter leur curiosité. Elles leur montreront comment les mathématiques sont
présentes dans les sciences et les techniques (en particulier en informatique, physique, biologie), mais aussi dans notre vision du monde, y compris vu par les artistes. Le stage est entièrement gratuit.

Depuis l’année 2010 le Centre Galois accueille 30 élèves de fin de classe de seconde recrutés sur l’ensemble des lycées de l’académie d’Orléans-Tours ; une organisation dont la réussite repose grandement sur l’expérience de ses cinq partenaires, Centre-sciences, Animath, le Rectorat de l’académie d’Orléans-Tours, la Fédération Régionale des Maisons des Jeunes et de la Culture et la Fédération Denis Poisson.

Une des originalités du Centre Galois est de mettre les jeunes directement au contact de chercheurs en mathématiques, de sorte que celles-ci leur apparaissent vivantes, à l’image du rôle qu’elles jouent actuellement, à un moment où la modélisation mathématique a envahi toutes les sciences du fait de la révolution numérique.

Texte d’Aurélien ALVAREZ et Philippe GRILLOT (Université d’Orléans)

Le mérite (ou la faute) doit être attribué à Ludwig Boltzmann. À l’époque, l’autrichien était persuadé que le mouvement d’une myriade de particules, qui bougent et se heurtent dans une boîte, était pratiquement identique à celui des particules d’un gaz. Pas seulement. Si les particules sont indiscernables, suivre le mouvement spécifique de chacune de ces boules de billard microscopiques n’est pas indispensable. Il suffit de garder un œil sur la répartition totale des particules en mouvement avec chacune sa vitesse.

Papier et stylo à la main, on écrit alors un certain nombre de rapports qui décrivent comment varie au fil du temps la quantité totale de particules qui se déplacent avec une vitesse donnée vers le nord-est, de celles qui vont avec une autre vitesse vers sud-ouest, et d’autres encore.

Quantité, relations et variations. La cuisine est faite : vous vous retrouvez dans les mathématiques des équations différentielles. De Boltzmann, en l’occurrence. Les configurations macroscopiques possibles sont encore trop nombreuses et prévoir l’évolution à partir d’une situation donnée reste prohibitif.

Le point de vue statistique suggère l’introduction de quantités globales associées à chacune de ces configurations. Dans cette logique, apparaît comme par magie la fonctionnelle H, chargée d’associer à chaque arrangement possible un numéro spécifique. Au passage du temps, en changeant la configuration, la valeur H change également. Eh bien, le Théorème H indique que la valeur de la fonctionnelle ne peut que diminuer. Juste ça. Pas frappant à première vue. Mais si nous interprétons H comme l’opposé de l’entropie, nous obtenons une preuve rigoureuse de la croissance de l’entropie au passage du temps. Puissance de la mécanique statistique.

Si vous n’êtes pas tellement convaincu de ce lien direct entre H et l’entropie, ou si vous n’avez pas vraiment compris en quoi consiste finalement cette entropie, pas grave. Les conséquences du Théorème-H se voient quand même : la décroissance indique la présence d’une direction dans le passage du temps. La bien connue flèche du temps. Toute encodée dans le signe d’une simple dérivée première. Pas mal.

Une voix discordante se charge de rappeler que les théorèmes ne sont pas des vérités absolues. Même le théorème de Pythagore, avec tout le respect dû à Euclide, est faux en géométrie sphérique. Tous les résultats mathématiques ont leur domaine de validité défini par les fondements de toute la construction. Le Théorème-H n’échappe pas non plus à cette règle. Dans le cas d’équations de Boltzmann, il y a un choix spécifique au type d’interaction entre les microscopiques boules de billard. On l’appelle l’hypothèse du chaos moléculaire et cela consiste à supposer l’absence de corrélation entre les vitesses des particules qui entrent en collision.

Comme tous les énoncés qualitatifs, le Théorème-H a aussi ses répercussions en dehors du domaine de la mécanique statistique et la dynamique des gaz. La plus jeune soeur de la fonctionnelle H, née sous l’égide de Claude Shannon, est à la base de la théorie de l’information. La fonctionnelle H de Shannon, version discrète de la H de Boltzmann, mesure, à sa manière, l’incertitude et la compressibilité d’une séquence de données et, en tant que telle, est considérée comme une plausible définition d’entropie de l’information.

Il reste la curiosité littérale pour le choix du symbole H. Il ne s’agit pas d’une aspiration entropique, mais de la majuscule de la lettre grecque “eta”. À la rigueur, donc, on devrait parler de Théorème Eta. Alors ces lignes trouveraient leur habitat naturel dans la version grecque de MADDMaths (s’il y en avait une).

Traduit à partir de la version originale en italien de Corrado Mascia avec l’autorisation de l’auteur.

Il y a plusieurs façons de mesurer le changement des choses et, concernant le gradient, la question est relative. Le choc thermique que nous subissons en faisant les courses est dû au fait que hors du supermarché il y a trente degrés à l’ombre et, passé la porte, la température passe rapidement a quinze degrés. Un saut de quinze degrés en quelques mètres. Changement, oui, mais rapide. Ou encore plus précisément, changement raide. Ce que nous mesurons, ce n’est pas la différence absolue entre deux valeurs, mais la différence relativement à la longueur de la distance parcourue en cette transition. Il s’agit d’un rapport entre dimensions : saut de température divisé par la distance parcourue.

Qui y voit une similitude avec le concept de dérivée est sur la bonne route : le gradient est, pratiquement, une dérivée. Mais avec une différence : tandis que la dérivée détermine la pente d’une courbe et nous restreint à un parcours unidimensionnel, le gradient a la liberté d’un déplacement bien plus grand.

Revenons à l’exemple de la température. Imaginons une pièce et, pour simplifier, arrêtons l’avancement du temps. À chaque point de la pièce on peut y associer sa valeur de température. Près des chauffages (allumés si on est en hiver) la température est élevée, près des fenêtres (ouvertes… même en hiver !) elle est basse. En considérant un point de départ dans la pièce, nous pouvons déterminer plusieurs directions de déplacement (en haut, en bas, à droite, à gauche, en diagonale, transversalement, …) et pour chacune d’entre elles il est possible de déterminer le rapport correspondant entre la variation de température et la distance parcourue. Ainsi et en passant à la limite dans les longueurs des distances au dénominateur, à chaque point de la pièce est associé un objet mystérieux qui codifie la rapidité des changements thermiques selon la direction de déplacement.

En mathématiques l’objet mystérieux a un nom précis, il s’appelle « différentielle », et il vit dans le monde de l’Algèbre Linéaire. Pour un miracle du monde qui nous entoure, il est possible de décrire cette fantomatique différentielle par une quantité plus facile à manipuler : le gradient. Dans l’exemple précédent, en chaque point (de la pièce), le gradient (de température) est identifié à un vecteur dont la direction correspond à celle de variation maximale, et la longueur décrit la rapidité de variation (de température). Notre pièce est ainsi peuplée de vecteurs qui, point par point, indiquent selon quelle direction nous devons nous déplacer si nous cherchons un endroit plus chaud.

Une fois l’objet défini – dont le symbole est un triangle isocèle à tête en bas, appelé « nabla » à cause d’une ressemblance avec un type d’harpe de la Grèce antique – et le concept formalisé, l’amusement est garanti. Laissant à nouveau le temps s’écouler, et faisant confiance à Jean-Baptiste Fourier, nous pouvons supposer que la chaleur se déplace dans la pièce selon la direction opposée à celle indiquée par le gradient, donc dans la direction de variation maximale de température et du chaud vers le froid. Utilisant papier et stylo pour compléter le bilan de quantités en jeu, nous retrouvons la célèbre « équation de la chaleur » qui décrit l’évolution des conditions thermiques de la pièce à partir de maintenant jusqu’à la fin des jours.

De la même façon, de nombreux autres modèles existent dans lesquels les variations temporelles d’une quantité observée sont guidées par un gradient. Avec un seul mot et un seul instrument nous pouvons jouer des musiques apparemment différentes : le déplacement de charges électriques (loi d’Ohm), l’hydraulique et la construction des fontaines de Dijon (loi de Darcy), le transport de masse (loi de Fick), etc. Les contextes, les problèmes et les significations physiques changent, mais au bout du compte il s’agit toujours de la mélodie du gradient.

Traduit à partir de la version originale en italien de Corrado Mascia avec l’autorisation de l’auteur.

T = c√L , où x est une constante réelle positive. (1)

On souhaite construire un pendule de période T’ = T/3.
D’après (1) on a alors :

T’ = T/3 = c √L/3 = c √(L/9) = c √L’.

Reste donc à construire un pendule de longueur L’ = L/9, ce qui revient à diviser en 9 parties égales la longueur du pendule de période T, cela en n’utilisant que le compas et une règle non graduée.

Traçons le segment [0B] de longueur L, et D une droite non parallèle à la droite (OB) passant par O. À l’aide du compas, traçons 9 points A1, A2, …, A9 sur la droite D tels que OA1 = A1 A2 = … = A8 A9.

Considérons maintenant la droite joignant les points B et A9 et traçons la parallèle à cette droite passant par A1 ; elle coupe la droite OB en un point A.

Le théorème de Thalès nous assure alors que

OA = L/9.

Énoncé de l’énigme.

Énigme et solution proposées par Philippe Grillot (université d’Orléans).

Notons P, Q et R les sommets du triangle contenu dans le plan horizontal parallèle au sol : le point P représente Philae, Q et R deux points au pied de la montagne de l’autre côté du canyon. (Voir dessin 1). Suivants les photos prises à plusieurs intervalles de temps, l’ombre d’un relief situé en Q balaie l’angle PQR de l’intérieur du triangle pendant une durée 1 h 14 mn 40 s. De même, l’ombre d’un relief situé en R balaie l’angle QRP est de 1 h 40 s. Le segment QR mesure 100 mètres. La comète Tchouri fait un tour sur elle-même en 14 heures. Est-il possible de connaître la largeur du canyon à partir de l’endroit où se trouve Philae ?

Pour vous replonger dans cette épopée nous vous proposons ce petit dessin animé.

Solution ici.

Énigme proposée par Philippe Grillot (université d’Orléans).