L’alphabet : A comme Approximation

On dit que les mathématiques sont la science EXACTE par excellence. Cependant, très souvent en mathématiques, il arrive de travailler avec des quantités qui ne sont pas déterminées de façon exacte et le problème principal est de contrôler l’erreur que l’on commet.

La situation typique est quand on a un problème qu’on ne sait pas résoudre et dont on sait trouver une solution approchée. En d’autres termes, on ne connaît pas la solution, mais on sait en déterminer une version raisonnablement similaire, en donnant (précisément !) un sens à cette similarité.

Approx Un exemple simple pour comprendre ce concept est le calcul d’une surface. Supposons que l’on soit tous d’accord sur le fait que la surface d’un rectangle est donnée par la formule « base fois hauteur ». Comment calculer la surface d’une forme qui ne soit pas rectangulaire ? Sans espoir ! (ou presque …). Une première approche possible est celle de déterminer des approximations de la surface cherchée. Par exemple, la surface du domaine sera sûrement supérieure à la surface d’un rectangle qu’il contient. Et l’aire du rectangle est connue ! Donc on a déjà obtenu une estimation par défaut de la surface cherchée. De combien cette valeur est différente de celle qu’on cherche réellement ? Avec seulement cette donnée on ne peut rien dire. Mais, avec un petit peu plus d’imagination, on peut imaginer emboîter le domaine dans un rectangle (connu) qui le contient. Avec les estimations par le haut et par le bas on peut ainsi contrôler l’erreur d’approximation, qui est plus petite ou égale à la différence des surfaces de deux rectangles (le contenant et contenu).

On a ainsi une valeur approchée de la surface et une estimation de l’erreur commise. Cependant, il se peut que l’erreur commise soit trop grossière et que l’on ait besoin d’une estimation plus précise. Comment faire ? Dans le problème de la surface il y a deux raisonnements possibles. Le premier est d’agrandir le rectangle contenu et rétrécir le contenant. Cette stratégie est efficace, mais on se rend vite compte qu’on va pas assez loin ainsi. La deuxième façon est plus subtile : si on connaît la surface d’un rectangle, on connaît aussi la surface du domaine composé de deux, trois, quatre, une famille de rectangles ! On peut donc améliorer l’approximation par défaut en ajoutant au précédent rectangle contenu dans le domaine un autre rectangle. Et ainsi de suite. Pour l’approximation par le haut il faudra, bien sûr, enlever des rectangles. Ainsi on obtient des domaines approchant de plus en plus le domaine initial, et on détermine une approximation de la surface. L’erreur commise est toujours donnée par la différence des surfaces des domaines approchants, et donc elle s’améliore à chaque pas.

Il existe un très grand nombre de situations pour lesquelles de tels procédés d’approximation sont nécessaires. Il est impossible d’en faire une liste. Une thématique pour laquelle l’approximation est importante est celle de l’analyse numérique qui, grosso modo, s’intéresse à des approximations de modèles appliqués, traduit en équations mathématiques, par le biais de calculateurs. Par exemple, il existe un modèle de propagation des influx nerveux dû à Hodgkin et Huxley (prix Nobel en médecine dans les années 60). Ce modèle a une traduction mathématique précise, dont il n’est pas évident de trouver une solution explicite.

Comment faire ? Utiliser un ordinateur est une très bonne stratégie… Il faut alors approcher le modèle avec une version qui soit comprise par l’ordinateur. Une fois calculée la solution numérique approchée il est essentiel d’en établir l’erreur. C’est comme si on suppose que l’ordinateur ne sait que calculer des surfaces de rectangles et qu’on veut l’utiliser pour déterminer l’approximation de surfaces de domaines quelconques.

En définitive, qu’est ce que ça veut dire approximer ? S’approcher … Mais le concept de voisinage est relatif. Donc, selon le critère de voisinage (autrement dit selon les différentes façons de calculer l’erreur commise), il peut y avoir différentes voies d’approximation. C’est un peu ce qui arrive dans l’art : qui peut affirmer qu’une peinture de Picasso représente moins la réalité qu’une photo ? Voies différentes, techniques différentes, peuvent cadrer des aspects différents de la réalité qui nous entoure.

Traduit à partir de la version originale en italien de Corrado Mascia avec l’autorisation de l’auteur.

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