Tout phénomène naturel a lieu à cause de la présence d’un gradient. Un gradient topographique (avec de la pluie) génère une rivière et un gradient d’énergie élastique, accumulée petit à petit à l’intérieur de la croûte terrestre, est responsable d’un tremblement de terre. Quand nous faisons les courses au rayon de fruits et légumes du supermarché, nous gelons : c’est la faute du gradient de température. Quand nous en sortons, nous avons l’impression de crever de chaud. Encore la faute au gradient, seul responsable de cette variation thermique.
Il y a plusieurs façons de mesurer le changement des choses et, concernant le gradient, la question est relative. Le choc thermique que nous subissons en faisant les courses est dû au fait que hors du supermarché il y a trente degrés à l’ombre et, passé la porte, la température passe rapidement a quinze degrés. Un saut de quinze degrés en quelques mètres. Changement, oui, mais rapide. Ou encore plus précisément, changement raide. Ce que nous mesurons, ce n’est pas la différence absolue entre deux valeurs, mais la différence relativement à la longueur de la distance parcourue en cette transition. Il s’agit d’un rapport entre dimensions : saut de température divisé par la distance parcourue.
Qui y voit une similitude avec le concept de dérivée est sur la bonne route : le gradient est, pratiquement, une dérivée. Mais avec une différence : tandis que la dérivée détermine la pente d’une courbe et nous restreint à un parcours unidimensionnel, le gradient a la liberté d’un déplacement bien plus grand.
Revenons à l’exemple de la température. Imaginons une pièce et, pour simplifier, arrêtons l’avancement du temps. À chaque point de la pièce on peut y associer sa valeur de température. Près des chauffages (allumés si on est en hiver) la température est élevée, près des fenêtres (ouvertes… même en hiver !) elle est basse. En considérant un point de départ dans la pièce, nous pouvons déterminer plusieurs directions de déplacement (en haut, en bas, à droite, à gauche, en diagonale, transversalement, …) et pour chacune d’entre elles il est possible de déterminer le rapport correspondant entre la variation de température et la distance parcourue. Ainsi et en passant à la limite dans les longueurs des distances au dénominateur, à chaque point de la pièce est associé un objet mystérieux qui codifie la rapidité des changements thermiques selon la direction de déplacement.
En mathématiques l’objet mystérieux a un nom précis, il s’appelle « différentielle », et il vit dans le monde de l’Algèbre Linéaire. Pour un miracle du monde qui nous entoure, il est possible de décrire cette fantomatique différentielle par une quantité plus facile à manipuler : le gradient. Dans l’exemple précédent, en chaque point (de la pièce), le gradient (de température) est identifié à un vecteur dont la direction correspond à celle de variation maximale, et la longueur décrit la rapidité de variation (de température). Notre pièce est ainsi peuplée de vecteurs qui, point par point, indiquent selon quelle direction nous devons nous déplacer si nous cherchons un endroit plus chaud.
Une fois l’objet défini – dont le symbole est un triangle isocèle à tête en bas, appelé « nabla » à cause d’une ressemblance avec un type d’harpe de la Grèce antique – et le concept formalisé, l’amusement est garanti. Laissant à nouveau le temps s’écouler, et faisant confiance à Jean-Baptiste Fourier, nous pouvons supposer que la chaleur se déplace dans la pièce selon la direction opposée à celle indiquée par le gradient, donc dans la direction de variation maximale de température et du chaud vers le froid. Utilisant papier et stylo pour compléter le bilan de quantités en jeu, nous retrouvons la célèbre « équation de la chaleur » qui décrit l’évolution des conditions thermiques de la pièce à partir de maintenant jusqu’à la fin des jours.
De la même façon, de nombreux autres modèles existent dans lesquels les variations temporelles d’une quantité observée sont guidées par un gradient. Avec un seul mot et un seul instrument nous pouvons jouer des musiques apparemment différentes : le déplacement de charges électriques (loi d’Ohm), l’hydraulique et la construction des fontaines de Dijon (loi de Darcy), le transport de masse (loi de Fick), etc. Les contextes, les problèmes et les significations physiques changent, mais au bout du compte il s’agit toujours de la mélodie du gradient.
Traduit à partir de la version originale en italien de Corrado Mascia avec l’autorisation de l’auteur.
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