Soit n en entier naturel supérieur ou égal à 1. Notons u_n la longueur en mètres parcourue par le tonneau lors de son n-ième tour. On a alors :
u_1 = 0,1 x π
u_2 = (0,1 + 2/10 x 0,1) x π = 0,1 x 1,2 x π
u_3 = 0,1 x 1,2 x (1+2/10) x π = 0,1 x (1,2)^2 x π
…
u_n = 0,1 x (1,2)^{n-1} x π.
Soit N le nombre de tours nécessaires pour couvrir la distance de 148,27 mètres. On a alors l’égalité suivante
u_1 + u_2 + … + u_N = 148,27.
On reconnaît alors la somme des N premiers termes d’une suite géométrique de raison 1,2 et de premier terme 0,1 x π.
D’où
0,1 x π x (1-(1,2)^N) /(1-1,2) = 148,27
soit
(0,2 x 148,27) / (0,1 x π) + 1 = (1,2)^N.
Donc
95,39 ≈ (1,2)^N
d’où
N ≈ 25.
Ainsi, à l’issue du 25-ième tour, la valeur du diamètre du tonneau sera :
0,1 x (1,2)^{24} ≈ 9,95 mètres.
Énoncé ici.
Énigme et solution proposées par Philippe Grillot (université d’Orléans).
Leave a Reply