Solution n°3 – les vendanges

 

Remarquons tout d’abord que

O O1 = R1 + R

O O2 = R2 + R

O1 O2 = R1 + R2.

Les trois quadrilatères O1 O A A1, O O2 A2 A et O1 O2 A1 A2 sont de la forme suivante :

Le théorème de Pythagore appliqué au triangle EBC rectangle en E nous donne la relation suivante :

(z-y)^2 + x^2 = (z+y)^2,

d’où l’expression de x en fonction de y et de z :

x^2 = 4yz,

soit :

x = √{4yz} = 2 √{yz}.

En appliquant ce résultat aux trois quadrilatères O1OAA1, OO2A2A et O1O2A1A2, nous obtenons alors :

A1A = 2√{RR1}

A2A = 2√{RR2}

A1A2 = 2√{R1R2}.

Ainsi, l’égalité A1 A + A2 A = A1 A2 s’écrit alors en fonction de R1, R2 et R :

2√{RR1} + 2√{RR2} = 2√{R1R2},

soit :

√{R}√{R1} + √{R}√{R2} = √{R1}√{R2}.

En factorisant par le terme √R, nous obtenons :

√R (√R1 + √R2) = √R1 √R2,

soit :

√R = √R1 √R2 / (√R1 + √R2).

 

Application aux données du texte :

R1=16cm et R2=25cm. Alors √R = 5×4 / (4+5) = 20/9,

soit R ≈ 5 cm.

 

Énoncé de l’énigme.

 

Énigme et solution proposées par Philippe Grillot (université d’Orléans).