Pour apprécier l’enthousiasme de ce groupe de théoriciens de la pizza, sinon l’utilité des résultats démontrés, nous pouvons regarder un article publié sur arXiv par J. A. Haddley et S. Worsley du département de Sciences Mathématiques de l’Université de Liverpool. Ce document est titré « Familles infinies de pavages monohédraux d’un disque » et ils y étudient le problème lié à la coupe d’une pizza.

Pour comprendre comment la pizza joue un rôle dans leur article, nous pouvons commencer par la définition de pavage monohédral. Les auteurs écrivent dans l’article : « Un pavage d’une forme planaire est dit monohédral si toutes les tuiles du pavage sont conformes entre elles. De tels pavages, appliqués au disque, sont produits chaque jour par les pizzaioli… en faisant des coupes radiales et distribuées régulièrement autour du centre d’une pizza », et donc en coupant la pizza de façon classique.

J. Aron observe que « presque tout le monde partage la pizza avec des coupes rectilignes qui se croisent au milieu. Mais que se passe-t-il si le centre de la pizza a un assaisonnement que certaines personnes préfèrent, et que d’autres désirent plutôt manger la croûte ? ».

C’est justement dans une telle situation que les mathématiques vous viennent en aide. Dans le passé, des travaux scientifiques avaient déjà formalisé une configuration pour créer 12 morceaux de forme égale, dont 6 forment une étoile qui part du centre et les 6 autres sont disposés le long du bord.

« On coupe d’abord trois côtés courbes au travers de la pizza, puis on coupe en deux ces parts pour obtenir les morceaux internes et externes », révèle J. Aron.

Les deux chercheurs ont poussé encore plus loin en généralisant la technique à un plus grand nombre de morceaux de pizza. En particulier, ils ont montré qu’il était possible de créer une infinité de pavages avec des morceaux ayant un nombre impair de côtés. « Du point de vue mathématique, a affirmé Haddley à la revue New Scientist, il n’y a pas de limite ». Mise à part, évidemment, la dimension de la pizza.

« Je ne sais pas si notre recherche aura des applications qui vont au-delà du partage d’une pizza », a déclaré le chercheur. Mais les résultats sont « intéressants mathématiquement, et en mesure de produire quelques belles images ».

En réalité, l’étude du partage d’une pizza n’est pas nouveau dans les discussions mathématiques. En effet, ainsi que le déclare Gizmodo, « le partage d’une pizza est un argument très étudié en mathématiques, principalement parce qu’il a peu à voir avec la pizza et beaucoup avec la géométrie circulaire ».

Vous connaissez donc maintenant une autre façon de partager une pizza avec vos amis, où ceux qui préfèrent le centre ou le bord pourront avoir ce qu’ils désirent. Il ne reste plus qu’à inviter les amis, commander des pizzas et se régaler. Bon appétit !

]]> http://maddmaths.smai.emath.fr/index.php/2017/01/12/la-recette-pas-tres-italienne-pour-partager-une-pizza/feed/ 0 http://maddmaths.smai.emath.fr/index.php/2015/07/31/une-formule-mathematique-pour-determiner-le-trajet-en-avion-ideal/ http://maddmaths.smai.emath.fr/index.php/2015/07/31/une-formule-mathematique-pour-determiner-le-trajet-en-avion-ideal/#respond Fri, 31 Jul 2015 11:00:44 +0000 http://maddmaths.smai.math.cnrs.fr/?p=333 [...]]]> Il est assez clair que le nombre d’escales est un facteur déterminant dans le choix d’un itinéraire en avion, les voyageurs préférant de manière assez naturelle les vols directs. Mais en dehors de ce critère, qu’est ce qui fait qu’un vol est meilleur qu’un autre aux yeux des voyageurs ? Comment déterminer le meilleur itinéraire parmi une grande diversité de vols directs proposés ?

L’équipe du site Skyscanner, un des leaders mondiaux dans la recherche (et la comparaison) de billets d’avion sur internet, s’est intéressée à cette question et vient de mettre au point une formule mathématique visant à attribuer une note sur 20 à chaque offre de vol. Il est alors possible de recommander aux voyageurs l’offre idéale de vol suivant ce critère (celle qui obtient la note maximale).

Une enquête a tout d’abord été menée auprès de 2000 voyageurs pour bien cerner leurs attentes. Il en ressort que les principaux critères pris en compte lors de la réservation d’un billet d’avion sont le fait que le vol soit direct (pour 66 % des sondés), les horaires de décollage et d’atterrissage (45 %) et la ponctualité (38 %). D’autre part, d’autres qualités sont à prendre en compte pour rendre le vol plus agréable : des sièges spacieux (61 %), la qualité de ce qui est proposé à manger et à boire (48 %), pas de turbulences (44 %), un siège libre à côté du sien (33 %), un prix pas trop élevé (30 %), une belle vue (24 %).

En dehors, du caractère direct du vol, la firme choisit de prendre en compte l’horaire du vol, la place pour les jambes et la ponctualité (critères ayant un fort impact sur la satisfaction des voyageurs) puis sollicite Eugena Cheng (professeure de mathématiques à l’université de Sheffield en Grande-Bretagne) pour élaborer, à partir de ces variables, une formule mathématique modélisant la satisfaction des voyageurs.

C’est ainsi qu’est proposée la définition suivante de la note de satisfaction associée à un vol :

Note(vol) = ( T + L – 30 ) x P

où :

• T = 10 (matinée), 5 (nuit), ou 3 (après-midi) représente l’impact de l’horaire du vol – ce score est proportionnel aux souhaits des voyageurs : matinée (52%), nuit (27%), et après-midi (21%)
• 28 ≤ L ≤ 40, correspond à la place pour les jambes (en pouces) – les valeurs supérieures à 40 sont ramenées à 40 (source www.airlinequality.com)
• 0 ≤ P ≤ 1, représente le pourcentage de vols qui respectent les horaires indiqués (source flightstats.com)

On remarquera que la note ainsi obtenue prend des valeurs entre 0 et 20 (limitée à 15 en classe économique car L ≤ 35 dans ce cas) prenant en compte les facteurs clés impactant la satisfaction des voyageurs. Une première approche pour nous aider trouver plus rapidement le vol de nos rêves…

Dans l’article intitulé « L’effet hipster : quand tous les anticonformistes finissent par se ressembler » récemment paru sur arXiv, J. Touboul explique mathématiquement pourquoi les hipsters, essayant toujours d’être différents, finissent par faire tous la même chose en même temps et à la fin se ressemblent.

Pour décrire les hipsters, Touboul fait référence à un modèle classique de la physique statistique, les verres de spin, en considérant une population d’individus en mesure de prendre des décisions. Ces décisions peuvent être prises soit en conformité ou contre la majorité de la population. Les hipsters, en agissant par pur esprit de contradiction, choisissent toujours le contraire de ce que fait la majorité.

Le modèle prend en considération le délai nécessaire à l’information pour être communiquée, c’est-à-dire le retard des hipsters à enregistrer les décisions des autres. En fait, s’ils savaient immédiatement les modes du moment ou les décisions prises par la majorité de la population, alors le modèle ne serait en mesure de représenter aucune structure particulière de cette composante « alternative » de la société. Mais dans le monde réel il est impossible de connaître les décisions des autres en temps réel, cela prend forcément un peu de temps.

Pour décrire les hipsters, un modèle classique de la physique statistique

C’est précisément à cause de ce retard que les alternatifs peuvent se synchroniser par inadvertance avec les autres. En considérant le retard et le choix fait par le propre réseau des connaissances, les décisions initiales des hipsters vont se synchroniser, car tous sont enclins à choisir la même chose.

Le modèle montre comment, contrairement aux systèmes coopératifs, une population d’individus prenant des décisions à l’encontre de la majorité subit des transitions de phase. Lorsque les hipsters sont trop lents pour détecter les tendances, ils continuent à faire les mêmes choix et restent donc en corrélation, tandis que leur tendance évolue dans le temps comme une fonction périodique. Cela est vrai lorsque la majorité de la population est constituée d’hipsters. Sinon, les hipsters seront, encore une fois, en grande partie alignés, vers une direction constante en opposition aux choix traditionnels.

L’auteur de l’étude explique enfin que l’intérêt de sa recherche dépasse la question des hipsters. En effet, cette étude peut avoir des implications importantes dans la compréhension de la dynamique des réseaux des circuits d’inhibition du cerveau, les stratégies d’investissement en finance ou la compréhension des dynamiques émergentes dans les sciences sociales ; domaines dans lesquels des retards de communication et la géométrie des systèmes semblent être décisif.

Hannah Fry, chercheuse au « Centre for Advanced Spatial Analysis » de l’University College à Londres, a pris la scène du TEDx organisé à l’Université de Binghamton pour partager sa passion pour les mathématiques en concentrant son exposé sur les mathématiques de l’amour, c’est-à-dire la façon d’appliquer les mathématiques à des questions de cœur. En effet, selon H. Fry, le succès des mathématiciens en amour est dû non seulement à leur personnalité pétillante et leur conversation brillante, mais aussi à plusieurs études sur la façon de trouver le compagnon ou la compagne idéal(e).

Sa première référence « scientifique » sur le lien entre les mathématiques et l’amour est l’article de Peter Backus « Pourquoi je n’ai pas de petite amie ? ». Dans ce travail, l’équation de Drake – utilisée précédemment pour estimer le nombre de civilisations hautement évoluées qui peuvent exister dans la Voie Lactée – permet de calculer le nombre de compagnes potentielles. M. Backus a constaté que parmi 30 millions de femmes environ dans le Royaume-Uni, seulement 26 étaient des compagnes potentielles. Ainsi, dans une soirée passée à Londres, il y aurait une chance de 0.0000034% de rencontrer une femme qui correspondrait à ses goûts et qui, en retour, serait intéressée. Un peu faible, n’est-ce pas ?

0.0000034% de chance de rencontrer une femme qui correspondrait à ses goûts

Voici alors quelques conseils sur la façon d’augmenter ses chances. Le premier concerne les sites de rencontres en ligne ; parmi les différents sites, H. Fry s’est intéressée à OkCupid, car il a été créé par des mathématiciens qui ont ensuite analysé les données collectées.
Lorsque nous créons un profil, la chose la plus importante est l’honnêteté ; en fait, il semble que la popularité sur ces réseaux sociaux n’est pas directement proportionnelle à la beauté : même si nous ne sommes pas des Apollons, nous pouvons toujours tirer parti de nos points de faiblesse. En réalité, si beaucoup de gens pensent qu’une personne est attrayante, ces gens se disent aussi qu’il sera difficile de la conquérir. Hannah Fry a ajouté que la plupart des gens essaient de cacher leurs défauts, mais au contraire, nous devons montrer ce qui fait notre différence, même si nous pensons que certaines personnes ne nous trouveront pas attrayant, parce que les gens qui sont intéressés par nous continueront à l’être malgré tout et ceux qui ne le sont pas, ce n’est pas la peine de les perdre.

Des conseils sur la façon d’augmenter ses chances…

La deuxième suggestion concerne le bon moment pour s’engager dans une relation. Afin de maximiser les chances de trouver le compagnon idéal, nous devons appliquer la théorie de l’arrêt optimal. En admettant que, généralement, les premiers amours arrivent à 15 ans et que vers 35 nous voudrions être casés, la stratégie gagnante est de rejeter tous les compagnons rencontrés au cours de la première tranche de 37% de cette période de temps, et de choisir comme compagnon de vie la première personne que nous rencontrons qui est mieux de ses prédécesseurs. Mme Fry a ajouté que dans la nature, par exemple, il y a certains types de poissons qui suivent cette stratégie. Ils rejettent tous les poissons qui arrivent pendant le premier tiers de la saison d’accouplement, puis ils acceptent le premier poisson qui est plus grand que tous les précédents.

Enfin la dernière suggestion de H. Fry concerne comment éviter un divorce. John Gottman est un psychologue qui, en étudiant différentes variables dans les relations de couple, a été en mesure de déterminer avec une précision de 90% les couples stables et ceux proches du divorce. Grâce à la collaboration avec le mathématicien James Murray, il a ensuite proposé un modèle d’équations différentielles ordinaires pour étudier la dynamique du mariage.
Le résultat a été que les couples ayant une relation plus stable ne sont pas les plus compréhensifs ni les plus tolérants, mais ceux qui sont le plus susceptibles de dire si quelque chose les dérange. Cette typologie de couple essaie constamment d’améliorer sa relation et d’avoir une vision plus positive sur le mariage.

Hannah Fry a conclu en disant qu’elle espérait que la compréhension des mathématiques de l’amour puisse amener à avoir un peu plus d’amour pour les mathématiques.

Jusqu’à récemment, on pensait que le nombre maximum de façons de nouer une cravate était de 85. Ce chiffre, déjà élevé, avait été déterminé par une étude réalisée par deux chercheurs de l’Université de Cambridge, Thomas Fink et Yong Mao. Aujourd’hui, cependant, grâce à une nouvelle étude menée par un groupe de scientifiques suédois, il a été démontré que ce nombre est bien supérieur à 85. En effet, les chercheurs suédois ont démontré que nous pouvons faire un parfait nœud de cravate de 177 147 manières différentes.

La recherche a été menée par des mathématiciens de l’Institut Royal de Technologie de Stockholm, en Suède. Le chef de l’étude, le mathématicien Mikael Vejdemo-Johansson, a décidé de lancer ce projet juste après la lecture du travail de Fink et Mao. Selon Vejdemo-Johansson, les deux chercheurs de l’université anglaise n’avaient pas inclus dans leur travail les nœuds plus élaborés. Fink et Mao avaient basé leur étude sur la théorie des langages formels, dans lesquels ils avaient traduite en symboles appropriés la suite de plis de la cravate. Le nombre de nœuds de cravate possibles était réduit car ils supposaient qu’on ne pouvait faire rentrer la cravate qu’une seule fois dans un nœud, et que toutes les combinaisons admissibles étaient celles où le reste de la cravate recouvrait le nœud.

À partir de ces considérations, l’équipe suédoise, en gardant la description symbolique des différentes étapes du pliage de cravate, a développé des hypothèses différentes en considérant que la pointe de la cravate pouvait être rentrée plusieurs fois dans des nœuds au cours du pliage. Le résultat obtenu montre qu’il y a 177 147 façons de nouer une cravate… donc chaque matin vous n’avez que l’embarras du choix ! Si vous souhaitez mettre à l’épreuve votre habileté, vous pouvez essayer de refaire les nœuds proposés par le générateur !

Dans l’étude, il a été demandé à trente individus de compter en arrière avec un pas de trois, à partir d’un nombre aléatoire généré par un ordinateur entre 800 et 999. Les résultats ont montré que ceux qui avaient consommé la boisson chaude pourrait faire des calculs plus rapidement et avec plus de précision. Un résultat qui, cependant, ne se reproduisait pas lorsque le pas a été porté à sept, une action plus complexe qui, selon les chercheurs, sollicitait une autre partie du cerveau. Peut-être exigeait-elle un peu de crème chantilly !

Le premier jour de la semaine est généralement considéré comme le jour le plus triste de la semaine parce qu’il suit le week-end. En réalité, la proximité du lundi avec ces jours de relâche ne le rend pas si triste que cela puisque nous gardons les sensations et les souvenirs du temps libre qui vient de passer. C’est pour cela, selon les chercheurs, que le lundi n’est que le deuxième jour le plus triste de la semaine.

Peter Dodds et Christopher Danforth, professeurs de mathématiques appliquées à l’Université du Vermont aux États-Unis, affirment avoir déterminé une méthode scientifique pour mesurer le bien-être collectif et avoir démontré que le jour de la semaine le plus triste était le mercredi. Ils ont examiné 2,4 millions de blogs et messages laissés sur Twitter pendant quatre ans. Les phrases écrites sur le site web sont classées en fonction de mots (positifs ou négatifs) et, grâce à une analyse des données récoltées, les mathématiciens identifient le

Ils ont examiné 2,4 millions de blogs

jour de la semaine pendant lequel les personnes sont les plus heureuses. Chaque mot utilisé est inséré dans une échelle d’évaluation classant les différents niveaux de bien-être en fonction du score de positivité du terme utilisé. Par exemple, les mots comme «triomphal», «paradis» et «amour» ont un score très élevé, et en revanche «trauma», «enterrement» et «suicide» correspondent à des scores très bas.

Selon cette étude, le dimanche est le jour le plus heureux de la semaine –les blogueurs décrivent leurs samedi soirs– et le lundi est à la deuxième place puisque les personnes sont encore joyeuses pour la fin de semaine qui vient de se terminer. En revanche, en milieu de semaine, la monotonie du rythme de travail et l’affaiblissement des souvenirs du week-end rendent les personnes plus tristes et donc l’humeur atteint le niveau le plus bas.

Danforth affirme que l’analyse des blogs permet d’observer les personnes dans une situation dans laquelle elles se comportent de façon naturelle. Les personnes qui écrivent sur les blogs pensent parler à des amis, mais en réalité ils parlent à un réseau social plus important, puisque les blogs sont publics. «Nous n’avons rien fait

Le dimanche est le jour le plus heureux de la semaine

d’autre que de regarder derrière leur dos», affirme le mathématicien. De plus, l’étude des blogs rend possible l’analyse des sentiments et des émotions de grandes quantités de personnes. En effet, les chercheurs analysent plus de 10 millions de phrases, prenant en compte celles qui commencent par «j’éprouve» ou «je me sens».

Les résultats, publiés dans le Journal of Happiness Studies, montrent que l’élection de Barack Obama le 4 novembre 2008 a été le jour le plus heureux en quatre ans, avec une importante augmentation de l’utilisation du mot «orgueil». L’étude a aussi montré que les blogueurs les plus heureux sont ceux âgés de 45 à 60 ans, et que les adolescents sont les plus tristes.

Les recherches ont été menées par Keyue Gao, un étudiant du département de mathématiques de l’Université de New York, dans le cadre du projet SURE. Le SURE, ou Summer Undergraduate Research Experience programme, est un programme qui permet à nombreux étudiants de faire des courtes expériences de recherche à l’Université de New York pendant l’été.
Keyue Gao, grâce à ce projet, a eu l’occasion de connaître le monde de la recherche mathématique, et a été en mesure de se confronter à la résolution d’un problème, sous la direction d’un chercheur confirmé.

Le problème étudié par Gao avait déjà été examiné par d’autres étudiants avant lui. C’est précisément le problème séculaire de la répartition de la pizza entre deux personnes : qui va manger le plus ?

Dans l’article publié sur arXiv.org, Gao examine le problème en considérant les deux mangeurs de pizza comme deux joueurs qui veulent s’approprier le plus de morceaux de pizza, préalablement divisée en morceaux qui ne sont pas égaux entre eux. Les autres règles du jeu sont très simples : on ne peut prendre un morceau de pizza que lorsque le précédent a été complètement consommé  une fois que le premier morceau a été pris, on continue en prenant uniquement les parties qui lui sont adjacentes. La dernière hypothèse, malheureusement pas très réaliste, est que les deux joueurs mangent à la même vitesse.

Qui va manger le plus ?

L’étude montre que, dans ces conditions, le joueur qui prend le premier morceau peut toujours manger au moins 2/5 de la pizza. Le problème initial, proposé par Peter Winkler, prévoyait que les deux joueurs pouvaient prendre les morceaux de pizza alternativement, en choisissant toujours l’un de ceux adjacents aux morceaux déjà pris. Dans ce cas, si le nombre de morceaux est pair, le premier joueur mange plus de la moitié de la pizza. Si le nombre de morceaux est impair, la situation se complique considérablement. En fait, dans ce cas, il y a des situations dans lesquelles la première personne, même en commençant par la plus grosse part, ne peut pas manger plus de 4/9 de la pizza.

En revanche, dans l’étude menée par Gao, on supprime l’alternance entre les deux joueurs, c’est-à-dire qu’ils peuvent prendre un morceau de pizza dès qu’ils ont fini de manger le précédent. Évidemment, en mangeant à la même vitesse, le temps qu’ils prennent pour finir un morceau est proportionnel à sa taille !

Il vaut mieux laisser choisir le premier morceau !

En conclusion, Gao montre que si la pizza est divisée en quelques morceaux (3 ou 4) la première personne peut très facilement manger plus de la moitié de la pizza. Jusqu’à présent, l’intuition de chacun de nous aurait conduit à la même réponse. Un fait moins évident que démontre l’étudiant est que si le nombre de parts est plus élevé, la première personne est sûre de pouvoir toujours manger au moins 2/5 de la pizza, mais aussi en améliorant au maximum sa performance, elle pourrait ne jamais arriver à manger la moitié de la pizza.

Gao, cependant, n’a pas réussi à montrer ce qui est en réalité la fraction maximale de pizza que la première personne peut réussir à manger. Pour cette raison, nous devons attendre au moins l’automne prochain. En attendant, si pendant un dîner nous partageons une pizza avec un ami, il vaut mieux lui laisser choisir le premier morceau !

Une étude, menée par une équipe de l’Université d’Ottawa qui étudie la propagation des maladies infectieuses, suggère que la «fièvre Bieber» peut être considérée comme la maladie la plus contagieuse de notre temps, capable d’infecter toute une génération de jeunes. En outre, les modèles mathématiques prédisent que cette maladie ne peut être éradiquée rapidement. En effet, selon les auteurs, seule une forte dose de «l’effet Lindsay Lohan» – c’est-à-dire une intense publicité négative – pourrait faire disparaître l’obsession généralisée pour la méga-star Justin Bieber.

«Les journaux à scandale sont sans doute notre dernier espoir contre une infection complète et apocalyptique», ont affirmé Valerie Tweedle, étudiante, et son professeur Robert J. Smith? (ce n’est pas une faute de frappe, Smith? a changé son nom pour se distinguer des nombreux homonymes présents dans le monde de la recherche), dans un chapitre du livre «Comprendre la dynamique des maladies infectieuses émergentes et ré-émergentes à l’aide de modèles mathématiques». Comme toutes les autres maladies, la fièvre Bieber a ses propres symptômes : pleurs ou cris incontrôlables, achat excessif de souvenirs, distraction dans la vie quotidienne et imitation de la coiffure de Bieber. Mais comment s’est propagée cette maladie Bieber ? «Grâce à une exposition constante, la fièvre Bieber a été incubée et s’est propagée. Des millions de personnes ont déjà été infectées, et d’autres sont en danger chaque jour. Il est nécessaire d’agir en urgence», ont déclaré les auteurs. Une intervention d’urgence est-elle vraiment nécessaire ?

Des millions de personnes déjà infectées…!

Peut-être que non. En réalité, l’étude est un exercice de modélisation de la croissance phénoménale de la popularité de Bieber – comme en témoigne le nombre de citations sur Twitter et de recherches sur Google – en utilisant des techniques propres aux maladies infectieuses. Le travail de Tweedle, sur lequel le chapitre se fonde, a obtenu un A+ dans le cours de Smith?. Les deux chercheurs, cependant, ne suggèrent pas aux jeunes – ou leurs parents – du monde entier de se protéger contre Bieber, et ne tentent pas de réduire sa réputation avec une campagne de dénigrement. En fait, l’étude a révélé que ce qui a poussé la «Bieber-mania» au niveau de fièvre est une stratégie publicitaire spécifique : en effet l’attention suscitée par des événements, comme le lancement d’un CD ou d’une nouvelle coupe de cheveux, est suivie d’une pause, suivie à son tour par d’autres nouvelles sur le jeune homme. Le travail suggère qu’une «Bieber surexposition constante» conduirait probablement à une baisse de sa popularité. « Si Bieber était sur toutes les couvertures tous les mois, les gens finiraient par penser: « J’en ai assez de Bieber. Il est partout ! » Smith? dit : «Mais si les nouvelles et les pics de publicité sont alternés avec des moments de pause, il peut durer presque indéfiniment. Évidemment, ce n’est pas formellement une maladie, mais il en a toutes les caractéristiques, et se comporte comme telle.» Smith? a  récemment visité une classe d’une école primaire, où chaque enfant de neuf ans connaissait Justin Bieber et tous, sauf un, l’aimait comme chanteur. Il a également passé du temps au Sénégal en Avril, pour enseigner les mathématiques à des étudiants de master. Dans ce cas, l’ensemble de ses élèves africains connaissaient Bieber. Smith? conclut en disant: «Maintenant nous avons tous cette langue commune … nous parlons tous Bieber».