Pour apprécier l’enthousiasme de ce groupe de théoriciens de la pizza, sinon l’utilité des résultats démontrés, nous pouvons regarder un article publié sur arXiv par J. A. Haddley et S. Worsley du département de Sciences Mathématiques de l’Université de Liverpool. Ce document est titré « Familles infinies de pavages monohédraux d’un disque » et ils y étudient le problème lié à la coupe d’une pizza.

Pour comprendre comment la pizza joue un rôle dans leur article, nous pouvons commencer par la définition de pavage monohédral. Les auteurs écrivent dans l’article : « Un pavage d’une forme planaire est dit monohédral si toutes les tuiles du pavage sont conformes entre elles. De tels pavages, appliqués au disque, sont produits chaque jour par les pizzaioli… en faisant des coupes radiales et distribuées régulièrement autour du centre d’une pizza », et donc en coupant la pizza de façon classique.

J. Aron observe que « presque tout le monde partage la pizza avec des coupes rectilignes qui se croisent au milieu. Mais que se passe-t-il si le centre de la pizza a un assaisonnement que certaines personnes préfèrent, et que d’autres désirent plutôt manger la croûte ? ».

C’est justement dans une telle situation que les mathématiques vous viennent en aide. Dans le passé, des travaux scientifiques avaient déjà formalisé une configuration pour créer 12 morceaux de forme égale, dont 6 forment une étoile qui part du centre et les 6 autres sont disposés le long du bord.

« On coupe d’abord trois côtés courbes au travers de la pizza, puis on coupe en deux ces parts pour obtenir les morceaux internes et externes », révèle J. Aron.

Les deux chercheurs ont poussé encore plus loin en généralisant la technique à un plus grand nombre de morceaux de pizza. En particulier, ils ont montré qu’il était possible de créer une infinité de pavages avec des morceaux ayant un nombre impair de côtés. « Du point de vue mathématique, a affirmé Haddley à la revue New Scientist, il n’y a pas de limite ». Mise à part, évidemment, la dimension de la pizza.

« Je ne sais pas si notre recherche aura des applications qui vont au-delà du partage d’une pizza », a déclaré le chercheur. Mais les résultats sont « intéressants mathématiquement, et en mesure de produire quelques belles images ».

En réalité, l’étude du partage d’une pizza n’est pas nouveau dans les discussions mathématiques. En effet, ainsi que le déclare Gizmodo, « le partage d’une pizza est un argument très étudié en mathématiques, principalement parce qu’il a peu à voir avec la pizza et beaucoup avec la géométrie circulaire ».

Vous connaissez donc maintenant une autre façon de partager une pizza avec vos amis, où ceux qui préfèrent le centre ou le bord pourront avoir ce qu’ils désirent. Il ne reste plus qu’à inviter les amis, commander des pizzas et se régaler. Bon appétit !

]]> http://maddmaths.smai.emath.fr/index.php/2017/01/12/la-recette-pas-tres-italienne-pour-partager-une-pizza/feed/ 0 http://maddmaths.smai.emath.fr/index.php/2015/07/31/comment-les-manifestations-se-propagent-elles/ http://maddmaths.smai.emath.fr/index.php/2015/07/31/comment-les-manifestations-se-propagent-elles/#respond Fri, 31 Jul 2015 11:00:51 +0000 http://maddmaths.smai.math.cnrs.fr/?p=326 [...]]]> Dans un article publié récemment sur arXiv, H. Berestycki et N. Rodriguez ont proposé un nouveau modèle macroscopique pour décrire les mouvements sociaux comme les manifestations et les émeutes. Cette approche a déjà été utilisée pour modéliser d’autres phénomènes sociaux comme la délinquance urbaine, la ségrégation sociale et l’opinion publique, entre autres.

Certains événements d’actualité ont mis en évidence la nécessité de comprendre la dynamique des émeutes. Par exemple, aux États-Unis, l’homicide de Michael Brown en août dernier à Ferguson dans le Missouri commis par un policier, et la décision du grand jury de ne pas inculper l’agent de police, ont donné lieu à des semaines de protestations. Une vague de protestations similaires a eu lieu à New York, après la décision des juges de ne pas entreprendre d’action judiciaire contre le policier impliqué dans l’étranglement d’Eric Garner.

En considérant l’intérêt de l’opinion publique pour ces cas, le risque d’augmentation et de propagation de l’agitation sociale devient de plus en plus concret. En effet les protestations peuvent être considérées comme des sortes d’« explosions » d’activités sociales, induites par un événement déclencheur, et qui augmentent pour une certaine période de temps grâce à un mécanisme d’auto-renforcement ou à d’autres chocs externes. Il est donc important comprendre quand ces explosions se produisent et comment elles se propagent.

L’idée proposée dans l’article est de décrire le phénomène au niveau macroscopique, en utilisant des modèles continus d’équations aux dérivées partielles et en considérant le couplage d’une variable explicite, qui représente l’intensité de l’agitation, et d’une variable implicite, qui décrit la tension sociale. Le système comprend également les effets de facteurs exogènes et endogènes, ainsi que les mécanismes de propagation.

Compte tenu de la complexité de ces problèmes, il n’est pas possible de comprendre les origines économiques, sociales ou politiques des révoltes, et encore moins, d’en contester la légitimité. Cependant, grâce à cette approche mathématique, il est possible de déterminer leur comportement qualitatif. Par exemple, nous pouvons comprendre l’influence de la limitation d’informations et des réseaux de communication sur la diffusion et la durée d’une potentielle protestation. Il a été montré en effet que la limitation d’informations entrave les émeutes, tandis qu’un plus grand accès aux médias sociaux et à la technologie a l’effet inverse.

Le modèle proposé est capable de capturer les ondes de « perturbation », c’est-à-dire un trouble des protestations qui se propage dans l’espace. De plus, grâce au type d’équations utilisées il est possible de quantifier la vitesse à laquelle ces ondes se propagent.

L’équipe du site Skyscanner, un des leaders mondiaux dans la recherche (et la comparaison) de billets d’avion sur internet, s’est intéressée à cette question et vient de mettre au point une formule mathématique visant à attribuer une note sur 20 à chaque offre de vol. Il est alors possible de recommander aux voyageurs l’offre idéale de vol suivant ce critère (celle qui obtient la note maximale).

Une enquête a tout d’abord été menée auprès de 2000 voyageurs pour bien cerner leurs attentes. Il en ressort que les principaux critères pris en compte lors de la réservation d’un billet d’avion sont le fait que le vol soit direct (pour 66 % des sondés), les horaires de décollage et d’atterrissage (45 %) et la ponctualité (38 %). D’autre part, d’autres qualités sont à prendre en compte pour rendre le vol plus agréable : des sièges spacieux (61 %), la qualité de ce qui est proposé à manger et à boire (48 %), pas de turbulences (44 %), un siège libre à côté du sien (33 %), un prix pas trop élevé (30 %), une belle vue (24 %).

En dehors, du caractère direct du vol, la firme choisit de prendre en compte l’horaire du vol, la place pour les jambes et la ponctualité (critères ayant un fort impact sur la satisfaction des voyageurs) puis sollicite Eugena Cheng (professeure de mathématiques à l’université de Sheffield en Grande-Bretagne) pour élaborer, à partir de ces variables, une formule mathématique modélisant la satisfaction des voyageurs.

C’est ainsi qu’est proposée la définition suivante de la note de satisfaction associée à un vol :

Note(vol) = ( T + L – 30 ) x P

où :

• T = 10 (matinée), 5 (nuit), ou 3 (après-midi) représente l’impact de l’horaire du vol – ce score est proportionnel aux souhaits des voyageurs : matinée (52%), nuit (27%), et après-midi (21%)
• 28 ≤ L ≤ 40, correspond à la place pour les jambes (en pouces) – les valeurs supérieures à 40 sont ramenées à 40 (source www.airlinequality.com)
• 0 ≤ P ≤ 1, représente le pourcentage de vols qui respectent les horaires indiqués (source flightstats.com)

On remarquera que la note ainsi obtenue prend des valeurs entre 0 et 20 (limitée à 15 en classe économique car L ≤ 35 dans ce cas) prenant en compte les facteurs clés impactant la satisfaction des voyageurs. Une première approche pour nous aider trouver plus rapidement le vol de nos rêves…

Le Centre Galois est né en 2011, l’année du bicentenaire de la naissance d’Évariste Galois.

Évariste Galois, c’est presque un personnage de fiction ! Mort en duel à l’âge de 20 ans, il laisse dans les mathématiques une empreinte indélébile par la profondeur des idées qu’il a introduites. En une phrase, il nous dit : « Sauter à pieds joints sur les calculs, grouper les opérations, les classer suivant leurs difficultés et non suivant leur forme, telle est selon moi la mission des géomètres futurs ».
Galois est né en 1811 à Bourg-la-Reine et ses premiers travaux ont été présentés à l’Académie des sciences par Cauchy en 1829. Entretemps, Galois a passé une enfance heureuse dans sa famille, avant de devenir pensionnaire au lycée Louis-le-Grand. Ses échecs au concours d’entrée à l’École polytechnique et la mort tragique de son père vont profondément le marquer. Quant à ses travaux, ils sont difficiles à comprendre même pour les plus brillants esprits de l’époque. Il faudra des années après sa mort et les efforts de mathématiciens comme Liouville puis Jordan pour qu’on comprenne toute l’originalité du jeune homme. Républicain passionné, Galois meurt dans un duel en 1832, duel dont les raisons ne sont toujours pas complètement élucidées, non sans avoir pris soin la veille de coucher sur le papier ses dernières réflexions mathématiques. Oui, Galois c’est quasiment un personnage de fiction !

Le Centre Galois lève les rangs des mathématiciens de demain.

Le Centre Galois a pour premier objectif de faire aimer les mathématiques et d’attirer des jeunes, collégiens ou lycéens, vers les carrières scientifiques. Sont visés en priorité celles et ceux qui, tout en réussissant très bien en classe, ont du mal à se projeter dans des études scientifiques longues parce qu’ils ne bénéficient pas d’un environnement familial favorable. Nombre d’études montrent que les élites françaises tendent à se reproduire et que l’ascenseur social fonctionne mal. Le Centre Galois répond alors à une double exigence de justice sociale et de renouvellement du vivier des mathématiciens, ou plus généralement des scientifiques.

Les activités proposées, tout en tenant compte du niveau mathématique des stagiaires, s’éloigneront des programmes scolaires pour faire appel à l’intuition et l’imagination, en essayant d’exciter leur curiosité. Elles leur montreront comment les mathématiques sont
présentes dans les sciences et les techniques (en particulier en informatique, physique, biologie), mais aussi dans notre vision du monde, y compris vu par les artistes. Le stage est entièrement gratuit.

Depuis l’année 2010 le Centre Galois accueille 30 élèves de fin de classe de seconde recrutés sur l’ensemble des lycées de l’académie d’Orléans-Tours ; une organisation dont la réussite repose grandement sur l’expérience de ses cinq partenaires, Centre-sciences, Animath, le Rectorat de l’académie d’Orléans-Tours, la Fédération Régionale des Maisons des Jeunes et de la Culture et la Fédération Denis Poisson.

Une des originalités du Centre Galois est de mettre les jeunes directement au contact de chercheurs en mathématiques, de sorte que celles-ci leur apparaissent vivantes, à l’image du rôle qu’elles jouent actuellement, à un moment où la modélisation mathématique a envahi toutes les sciences du fait de la révolution numérique.

Texte d’Aurélien ALVAREZ et Philippe GRILLOT (Université d’Orléans)

Croyez-le ou non, une recherche récente, menée par les mathématiciens français Amandine Aftalion (Laboratoire de Mathématiques de Versailles) et Frédéric Bonnans (École Polytechnique), a montré comment le sport pouvait grandement bénéficier des apports des mathématiques.

Lorsqu’on l’interroge sur la motivation derrière cette étude, Amandine Aftalion dit que son amour pour les mathématiques et le sport (elle pratique régulièrement la natation) l’a convaincue qu’on pouvait utiliser des équations mathématiques pour améliorer la physiologie humaine et atteindre une performance athlétique optimale !

Atteindre une performance athlétique optimale !

Afin de mener à bien leur étude, les mathématiciens ont choisi un sport relativement simple, la course à pied. Ils modélisent mathématiquement une course à l’aide d’équations différentielles, les résolvent et ainsi prédisent une stratégie optimale pour courir une distance donnée en un minimum de temps. Leur modèle prend en compte des paramètres physiologiques du coureur, tels que la consommation maximale d’oxygène et l’énergie totale anaérobie disponible, et implique plusieurs équations différentielles couplant les variables externes au coureur : la vitesse, la force de propulsion, les forces de frottement, et l’énergie anaérobie que le corps utilise en cas de déficit d’oxygène.

Ce modèle est construit sur un ancien modèle développé par le célèbre mathématicien Joseph Keller il y a près de quarante ans. Keller, coureur passionné lui-même, a d’ailleurs reçu le prix Ig Nobel en 2010, pour sa contribution mathématique sur la question de savoir pourquoi la queue de cheval d’un coureur balance de droite à gauche alors que sa tête va de haut en bas !

Le modèle de Keller faisait l’hypothèse que lors d’une course, un athlète devait maintenir sa vitesse constante pour atteindre des performances optimales. Le modèle d’A. Aftalion et F. Bonnans, lui, suppose la vitesse variable. C’est un fait bien connu des sportifs : faire varier sa vitesse permet de mieux dépenser son énergie et de courir plus longtemps.

Maintenant, comment les scientifiques résolvent-ils un système non-linéaire d’équations différentielles ? Évidemment, comme les équations font intervenir plusieurs paramètres et sont couplées, ce n’est pas exactement le type d’équation que vous avez appris à l’école. Mais l’utilisation d’un « solveur » de contrôle optimal développé par une équipe de l’INRIA (Institut français de recherche en informatique et automatique) a permis d’obtenir une solution numérique complète. En particulier, cela donne accès à la vitesse et à la dépense énergétique à chaque instant de la course.

De plus, il est maintenant possible d’identifier les paramètres physiologiques grâce à des mesures prises à distances régulières dans la course, dès qu’on a une bonne estimation de la consommation maximale d’oxygène. Cela est suffisant pour faire fonctionner le programme et pour prévoir une course idéale. L’outil peut prédire comment une amélioration de l’absorption maximale d’oxygène ou d’énergie anaérobie totale peut améliorer ou modifier la vitesse, les temps intermédiaires et le nombre de calories perdues dans la course. Il peut également donner des indications pour mieux courir en montée, en descente ou contre le vent. Les prédictions correspondent étroitement aux stratégies réelles utilisées par les athlètes professionnels. Cet outil, combiné à la technologie moderne, pourra être utile aussi bien à un semi-professionnel, pour l’aider à améliorer sa performance, qu’à un coureur amateur, qui n’a pas de coach mais qui a besoin de conseils sportifs personnalisés, mais aussi à un coureur du dimanche, qui veut connaître le nombre exact de calories dépensées dans la course pour optimiser sa perte de poids.

L’étude a commencé avec des stratégies de course à pied, mais l’objectif d’Amandine Aftalion et de Frédéric Bonnans est d’adapter le modèle à d’autres sports d’endurance, comme le cyclisme, la natation, le triathlon ou le ski de fond.

Dans l’article intitulé « L’effet hipster : quand tous les anticonformistes finissent par se ressembler » récemment paru sur arXiv, J. Touboul explique mathématiquement pourquoi les hipsters, essayant toujours d’être différents, finissent par faire tous la même chose en même temps et à la fin se ressemblent.

Pour décrire les hipsters, Touboul fait référence à un modèle classique de la physique statistique, les verres de spin, en considérant une population d’individus en mesure de prendre des décisions. Ces décisions peuvent être prises soit en conformité ou contre la majorité de la population. Les hipsters, en agissant par pur esprit de contradiction, choisissent toujours le contraire de ce que fait la majorité.

Le modèle prend en considération le délai nécessaire à l’information pour être communiquée, c’est-à-dire le retard des hipsters à enregistrer les décisions des autres. En fait, s’ils savaient immédiatement les modes du moment ou les décisions prises par la majorité de la population, alors le modèle ne serait en mesure de représenter aucune structure particulière de cette composante « alternative » de la société. Mais dans le monde réel il est impossible de connaître les décisions des autres en temps réel, cela prend forcément un peu de temps.

Pour décrire les hipsters, un modèle classique de la physique statistique

C’est précisément à cause de ce retard que les alternatifs peuvent se synchroniser par inadvertance avec les autres. En considérant le retard et le choix fait par le propre réseau des connaissances, les décisions initiales des hipsters vont se synchroniser, car tous sont enclins à choisir la même chose.

Le modèle montre comment, contrairement aux systèmes coopératifs, une population d’individus prenant des décisions à l’encontre de la majorité subit des transitions de phase. Lorsque les hipsters sont trop lents pour détecter les tendances, ils continuent à faire les mêmes choix et restent donc en corrélation, tandis que leur tendance évolue dans le temps comme une fonction périodique. Cela est vrai lorsque la majorité de la population est constituée d’hipsters. Sinon, les hipsters seront, encore une fois, en grande partie alignés, vers une direction constante en opposition aux choix traditionnels.

L’auteur de l’étude explique enfin que l’intérêt de sa recherche dépasse la question des hipsters. En effet, cette étude peut avoir des implications importantes dans la compréhension de la dynamique des réseaux des circuits d’inhibition du cerveau, les stratégies d’investissement en finance ou la compréhension des dynamiques émergentes dans les sciences sociales ; domaines dans lesquels des retards de communication et la géométrie des systèmes semblent être décisif.

Le résultat de la recherche, menée par une équipe de scientifiques de Penn State aux États-Unis, semble être un simple calcul mathématique, mais en réalité, il est beaucoup plus. Le modèle mathématique proposé fournit en effet des résultats plus précis que les appareils actuellement utilisés pour mesurer le niveau de sucre dans le sang. En outre, ce modèle est capable de prédire le niveau de glucose dans le sang jusqu’à trente minutes à l’avance, un intervalle de temps suffisamment long pour pouvoir éventuellement intervenir.

La recherche, financée par les Instituts américains de la santé (NIH), la Fondation nationale pour la science (NSF) et l’université de Penn State, est basée sur des données relatives aux patients atteints de diabète de type 1.

Le modèle fournit des résultats plus précis que les appareils

« Beaucoup de personnes atteintes de diabète de type 1 surveillent continuellement leur taux de glucose avec des appareils », explique le professeur de psychologie Peter Molenaar. Mais cela permet une prédiction du niveau de glucose entre 8 et 15 minutes, ce temps n’est pas toujours suffisant pour intervenir avec une dose appropriée d’insuline.
Comme Molenaar le souligne, « les patients peuvent tomber en hypoglycémie avant que l’appareil ne les prévienne », ce qui peut entraîner la mort.

Le professeur Molenaar explique que le niveau de glucose dans le sang d’une personne fluctue en fonction de la réponse à une certaine dose d’insuline, de l’activité physique et même de l’état émotionnel. Le niveau des fluctuations dépend bien entendu des personnes.

« Au cours de la dernière décennie, il y a eu de nombreuses avancées dans le développement d’un « pancréas artificiel » mécanique ; ce serait un système qui délivre de l’insuline et facilement transportable, se composant d’un moniteur de glucose, d’une pompe à insuline et d’un algorithme de contrôle, explique Molenaar. La création d’un pancréas artificiel qui fournit la bonne quantité d’insuline au bon moment a été un défi, car il est difficile de créer un algorithme de contrôle capable de gérer la variabilité entre les individus. Notre nouveau modèle est en mesure d’examiner cette variabilité. Il prédit le niveau de glucose dans le sang des individus en fonction de la dose d’insuline et du moment des repas ».

Qian Wang, professeur de génie mécanique et co-auteur de l’étude, a déclaré que « les dépendances dynamiques de la glycémie, la dose d’insuline et la prise de repas varient considérablement au fil du temps, pour chaque patient et entre les patients. La prédiction de haute fidélité de notre modèle sur des intervalles de 30 minutes permet l’exécution de la commande optimale de la dose d’insuline à action rapide et en temps réel, parce que l’ouverture de l’insuline a un retard de moins de 30 minutes. Notre approche permet de surpasser les standards parce que tous les paramètres de notre modèle sont estimés en temps réel. La configuration de notre modèle et le contrôleur optimal constitueront un pancréas artificiel efficace ».

Hannah Fry, chercheuse au « Centre for Advanced Spatial Analysis » de l’University College à Londres, a pris la scène du TEDx organisé à l’Université de Binghamton pour partager sa passion pour les mathématiques en concentrant son exposé sur les mathématiques de l’amour, c’est-à-dire la façon d’appliquer les mathématiques à des questions de cœur. En effet, selon H. Fry, le succès des mathématiciens en amour est dû non seulement à leur personnalité pétillante et leur conversation brillante, mais aussi à plusieurs études sur la façon de trouver le compagnon ou la compagne idéal(e).

Sa première référence « scientifique » sur le lien entre les mathématiques et l’amour est l’article de Peter Backus « Pourquoi je n’ai pas de petite amie ? ». Dans ce travail, l’équation de Drake – utilisée précédemment pour estimer le nombre de civilisations hautement évoluées qui peuvent exister dans la Voie Lactée – permet de calculer le nombre de compagnes potentielles. M. Backus a constaté que parmi 30 millions de femmes environ dans le Royaume-Uni, seulement 26 étaient des compagnes potentielles. Ainsi, dans une soirée passée à Londres, il y aurait une chance de 0.0000034% de rencontrer une femme qui correspondrait à ses goûts et qui, en retour, serait intéressée. Un peu faible, n’est-ce pas ?

0.0000034% de chance de rencontrer une femme qui correspondrait à ses goûts

Voici alors quelques conseils sur la façon d’augmenter ses chances. Le premier concerne les sites de rencontres en ligne ; parmi les différents sites, H. Fry s’est intéressée à OkCupid, car il a été créé par des mathématiciens qui ont ensuite analysé les données collectées.
Lorsque nous créons un profil, la chose la plus importante est l’honnêteté ; en fait, il semble que la popularité sur ces réseaux sociaux n’est pas directement proportionnelle à la beauté : même si nous ne sommes pas des Apollons, nous pouvons toujours tirer parti de nos points de faiblesse. En réalité, si beaucoup de gens pensent qu’une personne est attrayante, ces gens se disent aussi qu’il sera difficile de la conquérir. Hannah Fry a ajouté que la plupart des gens essaient de cacher leurs défauts, mais au contraire, nous devons montrer ce qui fait notre différence, même si nous pensons que certaines personnes ne nous trouveront pas attrayant, parce que les gens qui sont intéressés par nous continueront à l’être malgré tout et ceux qui ne le sont pas, ce n’est pas la peine de les perdre.

Des conseils sur la façon d’augmenter ses chances…

La deuxième suggestion concerne le bon moment pour s’engager dans une relation. Afin de maximiser les chances de trouver le compagnon idéal, nous devons appliquer la théorie de l’arrêt optimal. En admettant que, généralement, les premiers amours arrivent à 15 ans et que vers 35 nous voudrions être casés, la stratégie gagnante est de rejeter tous les compagnons rencontrés au cours de la première tranche de 37% de cette période de temps, et de choisir comme compagnon de vie la première personne que nous rencontrons qui est mieux de ses prédécesseurs. Mme Fry a ajouté que dans la nature, par exemple, il y a certains types de poissons qui suivent cette stratégie. Ils rejettent tous les poissons qui arrivent pendant le premier tiers de la saison d’accouplement, puis ils acceptent le premier poisson qui est plus grand que tous les précédents.

Enfin la dernière suggestion de H. Fry concerne comment éviter un divorce. John Gottman est un psychologue qui, en étudiant différentes variables dans les relations de couple, a été en mesure de déterminer avec une précision de 90% les couples stables et ceux proches du divorce. Grâce à la collaboration avec le mathématicien James Murray, il a ensuite proposé un modèle d’équations différentielles ordinaires pour étudier la dynamique du mariage.
Le résultat a été que les couples ayant une relation plus stable ne sont pas les plus compréhensifs ni les plus tolérants, mais ceux qui sont le plus susceptibles de dire si quelque chose les dérange. Cette typologie de couple essaie constamment d’améliorer sa relation et d’avoir une vision plus positive sur le mariage.

Hannah Fry a conclu en disant qu’elle espérait que la compréhension des mathématiques de l’amour puisse amener à avoir un peu plus d’amour pour les mathématiques.

Jusqu’à récemment, on pensait que le nombre maximum de façons de nouer une cravate était de 85. Ce chiffre, déjà élevé, avait été déterminé par une étude réalisée par deux chercheurs de l’Université de Cambridge, Thomas Fink et Yong Mao. Aujourd’hui, cependant, grâce à une nouvelle étude menée par un groupe de scientifiques suédois, il a été démontré que ce nombre est bien supérieur à 85. En effet, les chercheurs suédois ont démontré que nous pouvons faire un parfait nœud de cravate de 177 147 manières différentes.

La recherche a été menée par des mathématiciens de l’Institut Royal de Technologie de Stockholm, en Suède. Le chef de l’étude, le mathématicien Mikael Vejdemo-Johansson, a décidé de lancer ce projet juste après la lecture du travail de Fink et Mao. Selon Vejdemo-Johansson, les deux chercheurs de l’université anglaise n’avaient pas inclus dans leur travail les nœuds plus élaborés. Fink et Mao avaient basé leur étude sur la théorie des langages formels, dans lesquels ils avaient traduite en symboles appropriés la suite de plis de la cravate. Le nombre de nœuds de cravate possibles était réduit car ils supposaient qu’on ne pouvait faire rentrer la cravate qu’une seule fois dans un nœud, et que toutes les combinaisons admissibles étaient celles où le reste de la cravate recouvrait le nœud.

À partir de ces considérations, l’équipe suédoise, en gardant la description symbolique des différentes étapes du pliage de cravate, a développé des hypothèses différentes en considérant que la pointe de la cravate pouvait être rentrée plusieurs fois dans des nœuds au cours du pliage. Le résultat obtenu montre qu’il y a 177 147 façons de nouer une cravate… donc chaque matin vous n’avez que l’embarras du choix ! Si vous souhaitez mettre à l’épreuve votre habileté, vous pouvez essayer de refaire les nœuds proposés par le générateur !

Le cours préféré des collégiens français, après le cours d’éducation physique et sportive, est le cours de maths (étude DEPP, 1997). Pierre Merle, dans un article de 2003, expose les résultats d’une enquête qui montre que 70% des élèves de collèges sont intéressés, ou très intéressés, par les maths. Un article très récent (Teresa Assude et al, à paraître) montre que les élèves de l’école de la 2ème chance de Marseille ont une vision positive des maths. Une thèse récente (Lili Ji, 2011) montre que le cours préféré des lycéens de terminale français est le cours de maths, comme pour les lycéens chinois. Toutes les enquêtes faites sur le sujet donnent des résultats similaires : les maths sont une matière attractive, probablement la préférée des matières scolaires, pour une majorité de lycéens et de collégiens.

On peut prendre les choses d’un autre point de vue : tout le monde sait que dans le lycée français, les différentes voies sont hiérarchisées, et que c’est la voie scientifique qui est en haut de la hiérarchie ; au sein même de cette voie scientifique, les différentes spécialités sont elles aussi hiérarchisées, et c’est la spécialité mathématique qui est en haut du classement.

la France compte le taux de bac+5 en sciences le plus haut

Même s’il n’est pas politiquement correct de le dire, car toutes les disciplines doivent se voir reconnaître une égale dignité, l’expérience quotidienne de tout parent d’élève, comme les divers indicateurs sociologiques disponibles, convergent vers cette image d’une hiérarchie forte et stable, et d’une forte attractivité des sciences et en particulier des mathématiques. Ici aussi, bien que dans un sens différent (mais l’est-il tellement ?) on peut parler de l’attractivité des mathématiques. Cette attractivité continue d’ailleurs dans les études supérieures : ce sont les études scientifiques, ingénieur ou médecin, qui sont les plus convoitées, et une étude récente de François-Xavier Martin montre que la France est le pays qui compte le taux de diplômés à bac+5 en sciences le plus haut, avant l’Allemagne, bien avant la Chine ou les USA ; même au niveau doctorat, elle suit l’Allemagne de près en sciences. Cette attractivité continue d’ailleurs avec l’accès à l’emploi : on sait que les diplômés scientifiques, en particulier en mathématiques et en informatique, sont parmi les plus appréciés des employeurs, comme le montrent les taux d’emploi et les salaires correspondants.

Qu’est-ce qui explique cette attractivité ? Il y a bien sûr quelque chose d’intrinsèque à la discipline ; chaque mathématicien connaît le plaisir de réussir une démonstration, et de comprendre pourquoi les choses marchent, même si ce plaisir prend des formes très diverses suivant les personnes. Ce n’est sûrement pas le seul facteur : les sociologues ont montré combien les goûts dépendent de la situation sociale de chacun ; l’article de Pierre Merle cité plus haut montre que l’intérêt pour les mathématiques baisse entre la 6ème et la 3ème, mais qu’il baisse moins que l’intérêt pour le français (peut-être parce que les buts de l’enseignement des mathématiques sont plus explicites que ceux du français), et surtout, qu’il baisse beaucoup moins pour les élèves qui considèrent qu’ils ont un bon niveau dans la matière. Il est aussi probable qu’il y ait quelque chose de spécifique à la France : la classification d’Auguste Comte a toujours une grande influence chez nous !

pourquoi l’idée répandue par les médias est en contradiction complète avec les faits ?

… quoi qu’on en dise !

Comment se fait-il que l’idée répandue par les médias soit en contradiction complète avec ces faits, et qu’il soit généralement admis qu’il y a un problème avec l’attractivité des mathématiques ?

Bien sûr, je n’ai pas dressé un tableau complet, et il y a aussi des ombres : on sait que les mathématiques sont anxiogènes pour beaucoup d’élèves ; on sait aussi que les effectifs de la spécialité mathématique en terminale ont fortement baissé, comme les effectifs des licences scientifiques. Ces faits avérés, qui ont d’autres explications qu’un manque d’attractivité des mathématiques, ne suffiraient cependant pas pour donner un tableau aussi noir que celui que l’on peint en général.

La véritable explication est probablement liée au fait que la plupart des personnalités politiques ou médiatiques n’ont fait aucune étude scientifique ; ces responsables pensent aux mathématiques en termes d’échec, et ont du mal à imaginer que l’on puisse s’y intéresser. Il est d’ailleurs socialement admis de parler en public de philosophie, d’histoire ou de littérature, mais considéré comme grossier de parler de mathématiques ou de physique (ce qui n’était pas le cas au siècle de Voltaire et de Condorcet). Cette évolution date du début du 19ème siècle, et semble débuter avec le romantisme. Cet état d’esprit donne une explication plus naturelle de tous les problèmes que peut rencontrer l’enseignement des mathématiques en termes de désaffection et de manque d’attractivité ; cette cause abstraite (et irrémédiable) permet d’éviter de chercher les causes concrètes, et les remèdes possibles, qui pourraient s’avérer coûteux de plusieurs points de vue, en particulier en obligeant à remettre en cause des certitudes paresseuses.

On peut en donner divers exemples ; je me bornerai à trois d’entre eux : la baisse des effectifs de la spécialité mathématique en terminale, la chute de la licence de sciences, et les difficultés récentes pour recruter des professeurs de mathématiques.

Trois exemples d’explications paresseuses.

On sait que les effectifs des élèves de terminale en spécialité mathématique ont fortement baissé en 20 ans. Est-ce le signe d’un manque d’attractivité des mathématiques ? Si c’était le cas, les meilleurs élèves, auxquels tous les choix sont ouverts, partiraient les premiers vers d’autres cieux. On constate exactement le contraire : le taux de mentions Bien et Très Bien, et le pourcentage d’élèves en avance ou issus des classes favorisées, tous indicateurs classiques des bons élèves, sont nettement meilleurs en spécialité mathématique : celle-ci est plus attractive que les autres pour les bons élèves. La cause de la baisse est plus prosaïque, et parfaitement connue : la moyenne de maths au bac est inférieure de quelques points aux moyennes de physique-chimie et de SVT ; cette différence, qui n’a aucune raison avouable, fait qu’un élève moyen augmente ses chances en choisissant une autre spécialité. Comme les élèves sont en général bien plus au courant de ce genre de choses que les responsables du système éducatif, ils en tirent les conséquences logiques ; les très bons élèves qui n’ont aucun doute sur leurs capacités à obtenir le bac choisissent en grand nombre la spécialité mathématique, les autres vont voir ailleurs, avec ce résultat paradoxal que, bien que plus difficile à obtenir toutes choses égales par ailleurs, la spécialité mathématique a un meilleur taux de réussite que les autres ! Il suffirait bien sûr pour changer cela de demander que les moyennes des diverses épreuves soient les mêmes, ce qui devrait aller de soi.

…la spécialité mathématique a un meilleur taux de réussite au BAC que les autres

Cette demande évidente n’est jamais satisfaite, pour des raisons peu claires ; les enseignants de mathématiques tiennent peut-être à la gloire douteuse d’avoir une discipline plus difficile, donc plus enviable, et les autres sont heureux de récupérer les élèves… On trouvera tous ces résultats détaillés dans la note d’information de la DEPP 05.38, de décembre 2005, portant sur le bac 2003.

Les flux d’entrée en licence de sciences ont été divisés par 2 depuis 1995. On explique cette chute dans la presse, ou dans de multiples rapports dont les premiers ont été soutenus par l’OCDE, par une désaffection pour les sciences. On oublie en général de mentionner que les effectifs de classes préparatoires ont nettement augmenté pendant ce temps, que les IUT n’ont pas connu de baisse notable, et que les diplômes scientifiques à bac+5 (ingénieur, master), avec plus de 4% d’une classe d’âge, se portent fort bien. L’explication par le manque d’attractivité des sciences permet d’éviter de se pencher sur d’autres données, telles que le taux de réussite en licence ; une étude de la DEPP (note 13.02 d’avril 2013) montre que, même sans compter les étudiants qui abandonnent après un an, ils sont particulièrement bas. Pourquoi de bons étudiants se dirigeraient-ils vers des études connues pour avoir un fort taux d’échec, et un faible accompagnement des étudiants ?

Le nombre de candidats au CAPES de mathématiques est tout à fait insuffisant pour permettre de recruter le nombre de postes mis au concours, et la presse s’en est largement fait l’écho. On a moins dit que la situation était pire en lettres classiques, car on effraie moins les gens en leur disant qu’on va manquer de professeurs de latin que de mathématiques, et pas plus brillante dans d’autres domaines, dont l’anglais ; on a préféré mettre l’accent sur le manque d’attractivité des mathématiques. Pourtant, il s’agit là d’un banal désastre de gestion des ressources humaines par des responsables incompétents, résultat prévisible, et d’ailleurs prévu depuis 2010… La seule chose qui distingue les mathématiques et l’anglais d’autres disciplines, c’est que les candidats potentiels à ces deux CAPES peuvent très facilement trouver un emploi ailleurs. Dans ces domaines, des erreurs majeures de politique de recrutement se paient donc immédiatement au prix fort ; rien à voir avec l’attractivité de la discipline.

il faut disposer d’un réservoir de tours propres à rendre vivantes les notions que l’on enseigne.

Elles pourraient l’être plus !

Si les mathématiques sont naturellement attirantes pour une majorité d’élèves, elles sont aussi, on l’a dit plus haut, anxiogènes pour beaucoup. C’est en partie inévitable : à partir du moment où la réussite en mathématiques conditionne en grande partie la réussite scolaire, il est difficile d’éviter cette anxiété ; la plupart des pays développés connaissent ce problème, et particulièrement ceux qui, tels la Corée ou le Japon, ont beaucoup investi dans ce domaine.

Cela dit, l’apprentissage de la lecture est un préalable encore plus important à toute réussite, et elle ne développe pas une telle anxiété chez la plupart des élèves. Le style éducatif doit aussi jouer un rôle : quand on lit qu’un enseignant explique (dans les commentaires d’un site consacré aux maths) qu’il est bon de traumatiser les adolescents avec le formalisme pour les faire progresser en mathématiques, on sent qu’il y a encore des progrès à faire pour rendre les mathématiques plus attractives et moins anxiogènes…

Cela passe par des progrès dans les méthodes d’enseignement, par de meilleurs programmes, et bien sûr par un arrêt de la diminution systématique des heures d’enseignements en mathématiques que nous connaissons depuis 20 ans, et un retour à des horaires raisonnables. Quand on a vu un groupe d’élèves essayer de comprendre pourquoi il est naturel de poser que la somme de toutes les puissances de 2 est égale à -1, ou pourquoi la dimension de la courbe de von Koch est égale à log 4/log 3, on sait qu’un cours de mathématique, quand il est bien fait, peut rivaliser avec un spectacle de prestidigitateur… mais qu’il faut pour cela disposer d’un réservoir de tours propres à intéresser les élèves et à rendre vivantes les notions que l’on enseigne.

Pour en savoir plus…

Texte de Pierre ARNOUX, Professeur à la Faculté des Sciences de Luminy (Université d’Aix-Marseille).